定义

运算

推理

定义

把向量外积定义为：

|a ×b| = |a|·|b|·Sin<a, b>.

方向根据右手法则确定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心向b，那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向，被规定为外积的方向。

运算

向量外积的代数运算形式为：

| e(i) e(j) e(k) |

a × b=| x(a) y(a) z(a) |

| x(b) y(b) z(b) |

这个行列式，按照第一行展开。e表示标准单位基。

分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1）外积的反对称性：

a × b = - b × a.

这由外积的定义是显然的。

2）内积（即数积、点积）的分配律：

a·(b + c) = a·b +a·c,

(a + b)·c = a·c + b·c.

这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>，用投影的方法不难得到证明。

3）混合积的性质：

定义(a×b)·c为向量a, b, c的混合积，容易证明：

i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。

从而就推出：

ii) a·(b×c)=b·(c×a)=c·(a×b)

所以我们可以记a, b, c的混合积为(a,b,c)

推理

由i)还可以推出：

iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv) 若一个向量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零向量。

下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。

设r为空间任意向量，在r·[a×(b + c)]里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

r·[a×(b + c)]

= (r×a)·(b + c)

= (r×a)·b + (r×a)·c

= r·(a×b) + r·(a×c)

= r·(a×b + a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·[a×(b + c) - (a×b + a×c)] = 0

这说明向量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个向量。按3)的iv)，这个向量必为零向量，即

a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0

所以有

a×(b + c) = a×b + a×c.

证毕。

三向量的外积

a×（b×c）=(a·c)b-（a·b）c