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词条 向量积
释义

向量积 也被称为矢量积、叉积(即交叉乘积)、外积,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量垂直。

定义

两个向量ab的叉积写作a×b(有时也被写成ab,避免和字母x混淆)。向量积可以被定义为:

|向量a×向量b|=|a||b|sinθ在这里θ表示两向量之间的角夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。

这个定义有一个问题,就是同时有两个单位向量都垂直于和:若满足垂直的条件,那么也满足。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。

向量积c=a×b=|a| |b|sin<a,b>

c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定。

a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成

|i j k |

|ax ay az|

|bx by bz|

b×a= -a×b 右手规则

三角形ABC的面积=1/2*abs(AB×AC)

性质

几何意义

叉积的长度 |a× b| 可以解释成以 ab 为边的平行四边形的面积。

混合积 [a b c] = ( a× b c 可以得到以 a,b,c为棱的平行六面体的体积。

代数性质

反交换律:

a ×b= -b × a

加法的分配律:

a × (b+c) = a×b+ a× c

 与标量乘法兼容:

(ra) × b=a× (rb) = r(a × b)

不满足结合律,但满足 雅可比恒等式:

a× (b × c) + b × (c× a) + c × (a× b) = 0

分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。

两个非零向量 a 和 b 平行,当且仅当 a × b= 0

拉格朗日公式

这是一个著名的公式,而且非常有用:

a× (b ×c) = b(a·c) -c(a· b),

证明过程如下:

可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是,这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形:

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 的特殊情形。

另一个有用的拉格朗日恒等式是:

这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量 i,j,k满足下列等式:

i ×j=k j ×k = i k ×i =j

通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设

a = a1 i+ a2j+ a3k= [a1, a2, a3]

b= b1i+ b2j+ b3k =

a × b= [a2b3 ? a3b2, a3b1 ? a1b3, a1b2 ? a2b1]

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式:

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 i,j,k 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i + a2j + a3k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质:

双线性性:

x × (ay + bz) = ax × y + bx × z

(ay + bz) × x = ay × x + bz × x.

反交换律:

x × y + y × x = 0

同时与 x 和 y 垂直:

x · (x × y) = y · (x × y) = 0

拉格朗日恒等式

|x × y|2 = |x|2 |y|2 - (x · y)2.

不同于三维情形,它并不满足雅可比恒等式:

x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) ≠ 0

应用

在物理学光学和计算机图形学中,叉积被用于求物体光照相关问题。

求解光照的核心在于求出物体表面法线,而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点),就可依靠叉积求得法线。

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更新时间:2025/2/27 0:49:52