几何中的相似变换(定义 图形相似变换的性质 相似变换面积 相似变换的分解)

矩阵的相似变换(定义 若当(Jordan)标准型)

几何中的相似变换

定义

由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换（similarty transformation）。

图形相似变换的性质

图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；

图形相似变换后对应线段都扩大（或缩小）相同的倍数，这个数叫相似比。

相似变换面积

经相似变换的像与原图的面积等于相似比的平方。

相似变换的分解

任何相似变换可以分解为放缩，平移，旋转和翻转变换的复合。相似变换是仿射变换的一种特殊情况，也就是在仿射变换中去除错位变换这个因子后的结果。

矩阵的相似变换

定义

设M是方阵， P是一个同阶可逆矩阵（即行列式不为零，也称非奇异矩阵）， N=P^(-1)MP 称为M的相似变换。 其中如果M和P都可以是复数域内的方阵，为了区别，我们通常称为复相似变换。

若当(Jordan)标准型

任何方阵通过复相似变换可以变化到一种标准的分块对角阵形式，其中每个分块的对角线元相同，为矩阵M的特征值，除此以外，仅对角线上面的副对角线元素为1，其余都为0。或者说存在复可逆矩阵P,使得

P^(-1)MP=diag{R1,R2,...,Rt}

其中Ri形如λI+N,其中I为单位矩阵，N为和I同阶的仅对角线上面副对角线元素为1其余元素都是0的矩阵，即行如：

[0 1 0....0 0]

[0 0 1....0 0]

...

[0 0 0....1 0]

[0 0 0....0 1]

[0 0 0....0 0]

当然特别的，如果Ri是一阶的，I就是数字1，N是数字0.