线性系的定义

举例说明

线性系的定义

线性系是代数几何中最基础的研究对象之一。

考虑一个代数簇X上的除子D. 我们知道， D是X上一个“函数”（确切的说是截面）的零点集. 不妨设这个截面是s.

s的零点集通常写为div(s). 此处就有D=div(s).

一个除子称为有效除子，如果它的截面是全纯的。 换句话说，这个除子都是由一些不可约曲线通过形式上的加法构成的。

两个除子线性等价就是说， 他们对应的截面相除恰好得到定义在整个X上的半纯函数。

举例说明

比如D和除子E线性等价，D=div(s)， E=div(t), 那么 f=s/t 恰好是个半纯函数。

D的一个线性系， 就是指和D线性等价的一些 有效除子 构成的集合， 并且这些有效除子对应的截面全体恰好构成一个线性空间。

D有很多线性系，其中有一个最大的线性系， 记为|D|, 它包含了其他任何一个线性系， 我们称这个线性系为D的完全线性系。

换句话说，|D|的所有元素对应的截面恰好构成了最大的线性空间。

有的时候，人们也把线性系中的有效除子直接用截面来替代，这样我们就可以把线性系直接看成这些截面张成的线性子空间。 由此我们可以定义X到射影空间的映射。

比如|D|是由截面s0，s1,...,sn张成的线性系。于是可定义映射(其中P^n是射影空间, [...]是射影齐次坐标)：

Φ: X→P^n， x→[s0(x), s1(x),...,sn(x)]

有趣的是，这个映射和你选取的基s0,s1,...,sn无关。 当然Φ在某些点上可能没有定义，所以我们称Φ为有理映射。

上面是用完全线性系定义的，你也可以用其他的线性系定义。

反过来， 任何有理映射都是某个除子D的线性系定义的类似上述的映射。这样，研究除子就有了很重要的几何意义。