线性微分方程，是指以下形式的微分方程：其中微分算子L是线性算子，y是一个未知的函数，等式的右面是一个给定的函数。L是线性的条件，排除了诸如把y的导数平方那样的运算；但允许取y的二阶导数。因此，线性微分方程的一般形式是：

其中D是微分算子d/dx（也就是Dy = y'，Dy = y"，……），ai是给定的函数。这个微分方程是n阶的，因为方程中含有y的n阶导数，而不含n+1阶导数。

如果ƒ = 0，那么方程便称为齐次线性微分方程，它的解称为补函数。这是一种很重要的方程，因为在解非齐次方程时，把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解，便可以得到非齐次方程的另外一个解。如果ai是常数，那么方程便称为常系数线性微分方程。

通俗的解释

何谓线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。

这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如aX+bY+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。