希尔伯特第八问题是两个数论上悬而未决的问题，分别有黎曼猜想；哥德巴赫猜想；孪生素数猜想；都是素数问题，尽管这几个问题看似简单，但是要证明起来却相当地困难，虽然至今这几个问题已经有了很大的突破，但是最终的证明犹然未出现

黎曼猜想是在说明Riemann zeta函数，使此函数为0的值，除了一些已知数外，其实数部份在一个特定函数上皆为1/2。

哥德巴赫猜想是在说明任意大于6偶数皆可分解为两个奇质数之和，以及任意大于9的正数皆可分解为三个奇质数之和。

孪生素数猜想是说，是否有无穷多个素数相差为2.

希尔伯特第八问题全部内容如下

8，素数问题 最近阿达玛（Hadamard）、德拉瓦雷-布桑（DeLavallee-poussin）、冯。蒙哥尔特（von.Mangoldt）和其他人在素数分布论方面取得重大进展。然而，为了完全解决黎曼论文《论小于给定数的素数个数》向我们提出的问题，还需要证明其重要的黎曼猜想的正确性，也就是我们要证明由级数

ζ（*）=1+1/2*+1/3*+1/4*+...

所定义的零点，除了众所周知的负整实数外，全部都具有实部1/2，这个证明一旦获得成功，接下去的问题就是要更加精确地考察黎曼的无限级数，以便估计小于一给定数的素数个数。特别是要确定小于数x的个数与对数积分之差是否确实相当于x的阶数不超过1/2的无穷大。更进一步，我们必须确定：在计算素数过程中注意到的素数偶然凝聚的现象，是否确实由黎曼公式中那些依赖于函数的最初一些复零点的项所引起。对黎曼素数公式彻底讨论以后，我们或许就能够严格地解决哥德巴赫问题，即是否每一个偶数都能够表示为两个正素数之和。并且能够进一步着手解决是否存在无限多相差为2的素数问题。甚至能够解决更一般的问题，即线性丢番图方程ax+by+c=0.（具有给定的互素整系数）是否总有素数解x和y。