词条 | 微分中值定理 |
释义 | 微分中值定理是一系列中值定理总称,是研究函数的有力工具,其中最重要的内容是拉格朗日定理,可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。 费马中值定理内容: 设函数f(x)在ξ处取得极值 且f(x)在点ξ处可导 则f'(ξ)=0. 推论:若函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)在I内的点c处达到 且f(x)在点c处可导 则f'(c)=0. 罗尔定理内容: 如果函数f(x)满足: 在闭区间[a,b]上连续; 在开区间(a,b)内可导; 在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b), 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0. 几何上,罗尔定理的条件表示,曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明, 弧上至少有一点 ,曲线在该点切线是水平的.: 泰勒公式内容 :若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和: f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项。 (注:f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘。) 推论:麦克劳林公式 内容: 若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和: f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1. 拉格朗日中值定理内容: 如果函数 f(x) 满足: 1)在闭区间[a,b]上连续; 2)在开区间(a,b)内可导。 那么:在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b), 使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。 洛必达法则内容: 设(1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零; (2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0; (3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么 x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 又设 (1)当x→∞时,函数f(x)及F(x)都趋于零; (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在,且F'(x)≠0; (3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 柯西中值定理内容: 如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b)内可导; (3)对任一x(a,b),F'(x)≠0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ,使等式 [f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ) 成立 [中值定理]分为: 微分中值定理和积分中值定理: 以上四个为微分中值定理 定积分第一中值定理为: f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)(存在a<ξ<b使得该式成立) 以下为导数的应用: 达布定理内容: 若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值. 推广:若f(x),g(x)均在[a,b]上可导,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值。 |
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