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词条 微分中值定理
释义

微分中值定理是一系列中值定理总称,是研究函数的有力工具,其中最重要的内容是拉格朗日定理,可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。

费马中值定理

内容:

设函数f(x)在ξ处取得极值

且f(x)在点ξ处可导

则f'(ξ)=0.

推论:若函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)在I内的点c处达到

且f(x)在点c处可导

则f'(c)=0.

罗尔定理

内容:

如果函数f(x)满足:

在闭区间[a,b]上连续;

在开区间(a,b)内可导;

在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0.

几何上,罗尔定理的条件表示,曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明,

弧上至少有一点 ,曲线在该点切线是水平的.:

泰勒公式

内容 :若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和:

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项。

(注:f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘。)

推论:麦克劳林公式

内容:

若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和:

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1.

拉格朗日中值定理

内容:

如果函数 f(x) 满足:

1)在闭区间[a,b]上连续;

2)在开区间(a,b)内可导。

那么:在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),

使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。

洛必达法则

内容:

设(1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零;

(2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0;

(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么

x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

又设

(1)当x→∞时,函数f(x)及F(x)都趋于零;

(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在,且F'(x)≠0;

(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么

x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

柯西中值定理

内容:

如果函数f(x)及F(x)满足

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导;

(3)对任一x(a,b),F'(x)≠0

那么在(a,b) 内至少有一点ξ,使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)

成立

[中值定理]分为: 微分中值定理和积分中值定理:

以上四个为微分中值定理 定积分第一中值定理为:

f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)(存在a<ξ<b使得该式成立)

以下为导数的应用:

达布定理

内容:

若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.

推广:若f(x),g(x)均在[a,b]上可导,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值。

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更新时间:2025/3/4 8:16:45