定义

定律

应用

补充

定义

所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数。d数学上的称谓为模。如a=6,b=1,d=5,则我们说a和b是模d同余的。因为他们都有相同的余数1。

数学上的记法为：

a≡ b(mod d)

可以看出当n<d的时候,所有的n都对d同余,比如时钟上的小时数,都小于12,所以小时数都是模12的同余.对于同余有三种说法都是等价的,分别为:

(1) a和b是模d同余的.

(2) 存在某个整数n,使得a=b+nd .

(3) d整除a-b.

可以通过换算得出上面三个说话都是正确而且是等价的.

定律

同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:

1)a≡a(mod d)

2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)

3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)

如果a≡m(mod d),b≡m(mod d),则

4)a+b≡a+m （mod d）

5)a-b≡a-m (mod d)

6)a*b≡a*m (mod d )

我们可以用一个圆上的点来表示具有相同余数的数。比如钟的盘面上的1点时数，表示所有余数为1的数。

应用

下面来说说同余式定律6的应用，我们知道一个数的各个位数之和如果能被3整除那么这个数也能被3整除，如12，因为1+2=3能被3整除，所以12也能被3整除。如果我们利用定律6，就可以找出任何一个数能被另一个数整除的表达式来。

如我们用11来试试，11可以表示为10+1，所以有同余式：

10≡-1 （mod 11）

把上式两边都乘以各自，即：

10*10≡（-1）（-1）=1 (mod 11)

10*10*10≡（-1）（-1）（-1）=-1 （mod 11）

10*10*10*10≡1 （mod 11）

我们可以发现，任何一个（在十进制系统中表示的）整数

如果它的数码交替到变号之和能被11整除，这个数就能被11整除，如1353这个数它的数码交替变号之和为：1+（-3）+5+(-3)=0,因为0能被11整除，所以1353也能被11整除。其他的数的找法也一样，都是两边都乘以各自的数，然后找出右边的数的循环数列即可。

补充

还有一个定律7）当d为素数时 若ab≡0 mod(d) 则有 a or b≡0 mod(d)