古代计数筹码

微积分里的符号

算子的特征值

可交换算子

古代计数筹码

“算子”是古代计数用的筹码。

微积分里的符号

狭义的算子是表示一种对函数的运算的符号。

如同普通的运算符号作用于数后可以得到新的数那样，一个算子作用于一个函数后可以根据一定的规则生成一个新的函数。常见的算子有D(微分算子)，∫(不定积分算子)，grad(梯度算子)，∇(散度算子),△(拉普拉斯算子)等。它们的定义分别为：

D(f) = f'

∫(f) = F，F为f的原函数

grad(f) = [df/dx1,df/dx2,...,df/dxn]，其中f=f(x1,x2,...,xn)为n元标量函数

∇f = grad·f = df1/dx1+df2/dx2+...+dfn/dxn，其中f=(f1,f2,...,fn)为n元n维向量函数

f =d^2f/dx1^2+d^2f/dx2^2+...+d^2f/dxn^2。

从上面定义可以看出，狭义的算子实际上是指从一个函数空间到另一个函数空间（或它自身）的映射。

广义的算子的定义只要把上面的空间推广到一般空间，可以是向量空间。赋范向量空间，内积空间，或更进一步，Banach空间，Hilbert空间都可以。

算子还可分为有界的与无界的，线性的与非线性的等等类别。

算子的特征值

对于一个输入和输出函数类型相同的算子T，满足 T(f) = kf 的k称为T的特征值，相应的f称作T关于k的特征函数。

可交换算子

对两个输入和输出函数类型相同的算子T1和T2，如果 T1T2(f) = T2T1(f) 称T1和T2为可交换的，可交换意味着T1和T2拥有同样的特征函数（但对应的特征值不同）。

心理学

在心智技能形成的第一阶段，即认知阶段，要了解问题的结构，即起始状态，要到达的目标状态，从起始状态到目标状态所需要的步骤。每一个步骤就是一个算子。