定理简介

素数公式(素数生成公式 素数/数 个数 比值公式)

比较素数比值公式和以前的素数公式(以前（x^2）处的的素数 现在（Pn#）处的素数 两者的误差 生成图表)

初等证明

素数简介(个数 费马数2^(2^n)+1 梅森质数 相关猜想)

定理简介

素数定理描述素数素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)≈x/ln x 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋 近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。

素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计： :p(n)～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O项的常数则还未知道。

素数公式

素数生成公式

① P,!(PP,PPP…)

② Pn# * (1,2,…,(P(n+1)-1)/2) + (-P(Pn#/2),…,-P(n+1),-1,1,P(n+1),…,P(Pn#/2)),

!(P(n+1)+ * (P(n+1)+ ,P(n+1)+… )

公式说明：

Pn# 为n个素数值的阶乘。

(1,2,…,(P(n+1)-1)/2) 为遍历到等于（（下个素数值减1）除2的值）为止。

(-P(Pn#/2),…,-P(n+1),-1,1,P(n+1),…,P(Pn#/2)) 为遍历。

P(Pn#/2)为遍历到小于(阶乘Pn#值)除2值的一个素数。

P 为素数，!(PP,PPP…)、!(P(n+1)+ * (P(n+1)+ ,P(n+1)+… )皆为非素数。

P(n+1)+ 为下个或下个更大的素数。

(PP,PPP…)、!(P(n+1)+ * (P(n+1)+ ,P(n+1)+… )皆为遍历所以2个或2个以上素数的相乘。

(P(n+1)+ *(P(n+1)+,P(n+1)+…) 遍历乘积值不大于Pn# /2为止

素数/数 个数 比值公式

( n + (Pn-1)# -1) / Pn#

公式说明：

1、n 为n个素数连乘。

2、(Pn-1)# 为每个素数值都减1的阶乘、Pn#为n个素数值的阶乘。

3、例子：

( n+ (P1-1)(P2-1)（P3-1）....(Pn-1) -1 ) /P1P2....Pn

( n+y+(f(Px)) (P1-1)(P2-1)（P3-1）....(Pn-1) -1 ) /(Px^y)P1P2....Pn

( 5 + (2-1)(3-1)(5-1)(7-1)(11-1) -1) / 2*3*5*7*11

比较素数比值公式和以前的素数公式

以前（x^2）处的的素数

x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1

现在（Pn#）处的素数

(Pn-1)# +n -1

两者的误差

要想两式

x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1 == (Pn-1)# +n -1

恒等于，质数中x只有一个2的数没有误差:

x^2=Pn#

x=√ (Pn#)

证明正确的都是化简到了质数=2上面了，其他的都有误差，虽然通过化简都正确，但是质数分布是不对称的！我们不能吧质数分布当作自然数方程去处理！所以后来用 （ x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1）去求质数的值都出现了误差，特别是经过化简的公式更是如此。

质数公式得出：(Pn#+4)/2,(Pn#-4)/2等一定是质数！

生成图表

　　　(1,2,…,(P(n+1)-1)/2)　

　　　1　2　3　4　5

　　　P=素数（prime number），
! (P(n+1)+ *(P(n+1)+,P(n+1)+…)　

Pn#　　　2　3　　　

6　　　　　　　

2*3　6_1　　5　11　　　

　6+1　　7　13　　　

30　　　　　　　

2*3*5　30-13　　17　47　7*11= !(P(n+1)+ *(P(n+1)+,P(n+1)+…)

　30-11　　19　7*7　79　　

　30-7　　23　53　83　　

　30-1　　29　59　89　　

　30+1　　31　61　7*13　　

　30+7　　37　67　97　　

　30+11　　41　71　101　　

　30+13　　43　73　103　

210　　　　　　　

2*3*5*7　210-103　　107　317　527　737　947

　210-101　　109　319　529　739　949

　...　　　　　　

　210-11　　199　409　619　829　1039

　210-1　　209　419　629　839　1049

　210+1　　211　421　631　841　1051

　210+11　　221　431　641　851　1061

　...　　223　433　643　853　1063

　210+101　　311　521　731　941　1151

　210+103　　313　523　733　943　1153

2310　......　　　

初等证明

素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。

素数简介

个数

质数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证明在他的《几何原本》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：反证法。具体的证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1,p2,…,pn，设 x = (p1·p2·...·pn)+1，如果x是合数，那么它被从p1,p2,...,pn中的任何一个质数整除都会余1，那么能够整除x的质数一定是大于pn的质数，和pn是最大的质数前提矛盾，而如果说x是质数，因为x>pn，仍然和pn是最大的质数前提矛盾。因此说如果质数是有限个，那么一定可以证明存在另一个更大质数在原来假设的质数范围之外，所以说质数的个数无限。

费马数2^(2^n)+1

被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。这便是费马数。但是，就是在F5上出了问题！费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：

F5=4294967297=641×6700417，它并非质数，而是一个合数！

更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。

梅森质数

17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。

还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。

现在，数学家找到的最大的梅森质数是一个有9808357位的数：2^32582657-1。数学家虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。

相关猜想

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可以分为两个猜想（前者称“强”或“二重哥德巴赫猜想”后者称“弱”或“三重哥德巴赫猜想”)：1、每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2、每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇质数之和。

黎曼猜想

黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于质数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。

此条质数之规律内的质数经过整形，“关于质数的方程的所有意义的解都在一条直线上”化为球体质数分布。

孪生质数猜想

1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。

猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生质数。