| 词条 | 四维空间 |
| 释义 | 四维空间是一个时空的概念。简单来说，任何具有四维的空间都可以被称为“四维空间”。不过，日常生活所提及的“四维空间”，大多数都是指爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的“四维时空”概念。根据爱因斯坦的概念，我们的宇宙是由时间和空间构成。时空的关系，是在空间的架构上比普通三维空间的长、宽、高三条轴外又多了一条时间轴，而这条时间的轴是一条虚数值的轴。 “维”的定义一维是线，二维是面，三维是静态空间，四维是动态空间（因为有了时间），当然这只是一种说法，并不是说第四维就是时间。 我们在物理学中描述某一变化着的事件时所必须的变化的参数。这个参数就叫做维。几个参数就是几个维。比如描述“门”的位置就只需要角度所以是一维的而不是二维。 简单地说：零维是点，没有长、宽、高。一维是由无数的点组成的一条线，只有长度，没有宽、高。二维是由无数的线组成的面，有长、宽没有高。三维是由无数的面组成的体，有长宽高。维可以理解成方向。 因为人的眼睛只能看到三维，所以四维以上很难解释。正如一个智力正常，先天没有一只眼睛,一只耳朵的人(这样就没有双眼效应,双耳效应),他就很难理解距离了，他很可能认为这个世界是2维的。 就比如说，一条水管，人们普遍认为它是一个三维物体，但把它拿到远处去看，就只剩一条线了（1维） 一个简单的说法：N维就是N个N-1维物体两两垂直所形成的空间。 因为，人类只能理解到3维，所以后面的维度可以通过数学理论构建，但要仔细理解就很难。在量子力学,目前仍在建立的弦理论，认为世界是11维的。 物理中的四维是指长度，数量，温度，时间。前三维由牛顿总结，长度包括：长，宽，高，容积等等。数量包括：质量，个数，次数等等。温度包括：热量，电能，电阻率等。时间是由爱因斯坦在牛顿的基础上补充的，包括：比热容，速度，功率等。 “维”的数学含义和推导我们在讨论维度的时候 通常会建立N维空间的维度概念。 在数学上 一个维度中两点间距离R通常满足以下公式 1维空间：a=R 2维空间（勾股定理）：a+b=R 3维空间：a+b+c=R 4维空间：a+b+c+d=R 以此类推…… 轴对称性对于爱因斯坦的四维空间，人们普遍认为空间有轴对称性，或是中心对称。譬如，倘若一个三维空间的人进入四维空间，那么他也许会被‘轴对称’一下。当然，由于没有人进入四维空间，所以这只是一个假设。但是关于时间轴的观点以及时空错乱瞬间的现象与这是相符的。 从零维空间到四维空间从零维空间到四维空间—浅谈几何中的纯概念研究 （马利进 陇东学院数学系 甘肃庆阳 745000） 摘要几何不一定是真实现象的描述，几何空间和自然空间并不能完全等同看待，纯概念的研究几何的发展是数学界的一个里程碑。从零维空间到三维空间，尤其是从三维空间到四维空间的发展更是几何学的的一次革命。 关键词零维；一维；二维；三维；四维；n维；几何元素；点；直线；平面。 正文n维空间概念，在18世纪随着分析力学的发展而有所前进。在达朗贝尔.欧拉和拉格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的概念，达朗贝尔在《百科全书》关于维数的条目中提议把时间想象为第四维。在19世纪高于三维的几何学还是被拒绝的。麦比乌斯（karl august mobius 1790-1868）在其《重心的计算》中指出，在三维空间中两个互为镜像的图形是不能重叠的，而在四维空间中却能叠合起来。但后来他又说：这样的四维空间难于想象，所以叠合是不可能的。这种情况的出现是由于人们把几何空间与自然空间完全等同看待的结果。以至直到1860年，库摩尔（ernst eduard kummer 1810-1893）还嘲弄四维几何学。但是，随着数学家逐渐引进一些没有或很少有直接物理意义的概念，例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是真实现象的描述”的观念，逐渐走上纯观念的研究方式。虚数曾经是很令人费解的，因为它在自然界中没有实在性。把虚数作为直线上的一个定向距离，把复数当作平面上的一个点或向量，这种解释为后来的四元素，非欧几里得几何学，几何学中的复元素，n维几何学以及各种稀奇古怪的函数，超限数等的引进开了先河，摆脱直接为物理学服务这一观念迎来了n维几何学。 1844年格拉斯曼在四元数的启发下，作了更大的推广，发表《线性扩张》，1862年又将其修订为《扩张论》。他第一次涉及一般的n维几何的概念，他在1848年的一篇文章中说： 我的扩张的演算建立了空间理论的抽象基础，即它脱离了一切空间的直观，成为一个纯粹的数学的科学，只是在对（物理）空间作特殊应用时才构成几何学。 然而扩张演算中的定理并不单单是把几何结果翻译成抽象的语言，它们有非常一般的重要性，因为普通几何受（物理）空间的限制。格拉斯曼强调，几何学可以物理应用发展纯智力的研究。几何学从此开始割断了与物理学的联系而独自向前发展。 经过众多的学者的研究，遂于1850年以后，n维几何学逐渐被数学界接受。 以上是n维几何发展的曲折历程，以下是n维几何发展的一些具体过程。 首先，我们将点看作零维空间，直线看作一维空间，平面看作二维空间，并观察以下公设： 属于一条直线的两个点确定这条直线。 1.1 属于一条直线的两个平面确定这一条直线。（比较这个公设和公设1.1）。 1.2 属于同一个点的两条直线也属于同一个平面。（公设1.2的推论） 1.3（也可能属于两个相交平面） 属于同一个平面的两条不平行直线，也属于同一个点。 1.4 可以推断出： 1. 具有相同维数的两个空间，在某些条件下，确定另一个高一维的空间。例如：两个点（我们将它们看作两个零维空间）确定一条直线（一维空间）。属于同一个点（规定的条件）的两条直线（两个一维空间）也属于同一个平面（二维空间）。 2. 具有相同维数的两个空间，在某些条件下，也可以确定一个低一维的空间。例如：两个平面（两个二维空间）确定一条属于它们的直线（一维空间）。属于同一平面（限定的条件）的两条直线（两个一维空间）确定一个点（零维空间）。 3. 结论2没有包括这一事实，即两个平面可以确定一个高一维的空间。它只假定它们确定一条直线，这是比平面低一维的空间。这就留下了一个把我们的思想引申到高维空间的缺口。这个缺口的消除可在推论1.3“属于同一个点的两条直线也属于同一个平面”中，用几何元素直线、平面和三维空间依次的代替几何元素点、直线和平面来达到。 下面的推论是替换的结果。属于同一条直线的两个平面也属于同一个三维空间。 有了这个新的推论，我们就把与其他几何元素直接对应的几何元素——三维空间也包括了。 下一步是把对偶原理应用于这一推理，并从这些新引申的推论中得到一些固有的结论。在对偶原理将通过几何元素——平面和空间的位置交换而被应用。这时我们得到下述推论： 属于同一条直线的两个三维空间也属于同一个平面。 1.5 从推论1.5我们可以得到下述公设： 属于一个平面的两个共存的三维空间确定这一个平面。 1.6 在上述1.5和1.6的基础上，可以提出下面的看法： 1. 四维空间的几何条件是很明显的，因为维数相同的两个已知空间，只能共存于比它们高一维的空间里。例如：两条不同的共存直线（一维）位于一个平面内（二维）；两个不同的共存平面(二维)（沿一直线共存）位于一个三维空间里；两个不同的共存三维空间（沿一个平面共存）位于一个四维空间里。 2. 在几何上被看作是不属于同一直线而相交于一点的两个平面，属于不同的各别的三维空间。 四维空间的概念也可以通过解析几何的手段来研究。在那里我们可以利用代数方程来表示几何概念。为了利用这个手段进行观察以导致对四维空间的理解，我们来研究三维空间体系中的三个几何元素——点、直线和平面的方程。利用笛卡尔系统表示，我们可以写出： 点的方程：ax + b = 0 （坐标系：直线上的一个点）。 直线的方程：ax + by + c = 0 （坐标系：平面上的两条正交直线）。 平面的方程：ax + by + cz + d = 0 (坐标系：三维空间的三个互相垂直的平面)。 从上面的研究我们可以看出： 所表示的每一个几何元素（或空间）的方程中的变量数目，等于这个空间的维数加1。 坐标系中的几何元素与被表示的几何空间的几何元素的维数相同。 在这个坐标系中，几何元素的数目等于被表示的空间的维数加1。在坐标系中，几何元素的这个数目是最低要求。 用来表示几何元素的坐标系，位于比它所含有的几何元素高一维的空间里。 根据上述观察，我们可以写出三维空间的下述方程。应当注意：这个方程有四个变量（x、y、z、u）。 ax + by + cz + du + e = 0 现在我们可以断定： 1. 这个坐标系的几何元素有三维，即它们是三维空间。 2. 在这个坐标系中有四个三维空间。 3. 这个坐标系位于一个四维空间里。 我们对于四维空间乃至更高空间的研究，不是通过实验总结的方式，在现实中我们很难发现并推导出它们的一般规律，对于这些问题，我们可以采取一种新的研究方式。即：纯概念的研究。通过这种方式，我们可以容易的推导出这些很重要但在现实中不易想象的新内容。 如果一个3维空间的东西，当他的密度为负值时，是否会变成4维空间的事物呢？ 参考文献1. 《四维画法几何学》[美]C.E.S.林德格伦， S.M.斯拉比（著） 谢申（译）， 周积义（校） 清华大学出版社 2. 《分形的哲学漫步》林夏水（等著） 首都师范大学出版社 3. 《解析几何》（第三版）吕林根， 许子道， 等编 高等教育出版社 4. 《数学哲学》[美]保罗.贝纳塞拉夫， [美]希拉里.普特南(编) 商务印书馆 时空为何是四维的正宗的维数研究方法通常离不开人存在原理。譬如讲，如果空间是两维的，则两维动物则不能正常消化。如果空间是四维以上，则世界就会精彩得多。如果我们是四维空间的动物，则彭加莱关于三维球的猜想则不应该是世纪难题。可惜多于三维的空间使万有引力和静电力随距离的变化比三维中更剧烈，使得小至原子核的电子，大至太阳系中的行星轨道不再稳定，很快就以旋涡的方式向远处飞离或者撞到中心上。 许多人不能接受人存在原理，认为他和科学传统相违背。科学的方法是从第一原理出发，把万物甚至观察者全推出来。人存在原理却是从观察者存在的条件把宇宙推出来，他们正好处与相反的两极。 霍金认为宇宙的边界条件是他没有边界。用卡鲁查-克莱因模型论述，时空本是高维的，而我们之所以感到它是四维的，那是因为额外维都被卷去到我们无法观察到的小尺寸去，比如普朗克尺度。正如一根头发的表面虽然是二维的，但是粗看之下，只剩下头发长度那一维一样。人们称感觉到的空间为外空间，觉察不到的为内空间。时间是外空间中的一维。 在用量子宇宙学研究时空维数的济起源时，必须避免人为的调节卡鲁查-克莱因的总维数，以得到需要的外空间维数。因为人为的调节会陷入逻辑循环，这种做法是你想得到多少维的空间都能如愿。因此，可用的卡鲁查-克莱因模型其总维数必须是由第一原理推出的。十一维的超引力模型便由第一原理推出的。自然界也许存在一种所谓的超对称。 1980年弗隆德和鲁宾发现了一个十一维超引力的非常美丽的宇宙模型，其内空间是七维球，外空间是四维球。但在经典的框架中，人们无法证明不存在具有其他维数的外时空的解。 在量子宇宙学中，瞬子是宇宙创世的籽。瞬子是爱因斯坦方程和其他场方程的解，其中时间和空间坐标不能区分。十一维超引力的创生宇宙的瞬子必须是四维球和七维球空间两个因子空间的乘积。时间若包围在四维中，四维时空随后便展开演化成我们生活中的并感觉到四维的宏观宇宙，否则外时空便是七维的。 在带电荷的黑洞创生场景中，宇宙波函数要使用正确的表象，才能算出创生的概率。因为规则瞬子是非常稀罕的，所以研究一般黑洞的创生，必须引进约束引力的概念。找到正确表象不仅对于带电荷而且对于旋转黑洞的波函数至关重要。 从同一瞬子出发，在选择正确的表象后，时间在四维球中的创生概率远远大于时间在七维流形中的概率。因此，在量子宇宙学中证明了外时空必须是四维的。 物理世界的四维空间在数学上有各种多维空间，但目前为止，我们认识的物理世界只是四维，即三维空间加一维时间。现代微观物理学提到的高维空间是另一层意思，只有数学意义。 四维时空是构成真实世界的最低维度，我们的世界恰好是四维，至于高维真实空间，至少现在我们还无法感知。我在一个帖子上说过一个例子，一把尺子在三维空间里（不含时间）转动，其长度不变，但旋转它时，它的各坐标值均发生了变化，且坐标之间是有联系的。四维时空的意义就是时间是第四维坐标，它与空间坐标是有联系的，也就是说时空是统一的，不可分割的整体，它们是一种“此消彼长”的关系。 四维时空不仅限于此，由质能关系知，质量和能量实际是一回事，质量（或能量）并不是独立的，而是与运动状态相关的，比如速度越大，质量越大。在四维时空里，质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量，动量是描述物质运动的量，因此质量与运动状态有关就是理所当然的了。在四维时空里，动量和能量实现了统一，称为能量动量四矢。另外在四维时空里还定义了四维速度，四维加速度，四维力，电磁场方程组的四维形式等。值得一提的是，电磁场方程组的四维形式更加完美，完全统一了电和磁，电场和磁场用一个统一的电磁场张量来描述。四维时空的物理定律比三维定律要完美的多，这说明我们的世界的确是四维的。可以说至少它比牛顿力学要完美的多。至少由它的完美性，我们不能对它妄加怀疑。 在狭义相对论中，时间与空间构成了一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成了一个不可分割的整体——四维动量。这说明自然界一些看似毫不相干的量之间可能存在深刻的联系。在今后论及广义相对论时我们还会看到，时空与能量动量四矢之间也存在着深刻的联系。 从二维到三维的类比 右图中彼此完美镶嵌的的蜥蜴出自艺术家埃舍尔之手。不难理解这些二维动物们的世界只有长与宽而没有高。怎样让他们认知三维图形呢？右图给出了一种方法：让三维图形（图中是正四面体）穿过这个二维平面，利用图形在平面上的投影使得蜥蜴认知这个图形。类比到我们对四维空间的思考，是否能看出些端倪？ 人类穿越高维空间可行性的类比首先假设一张没有厚度的纸 （只拥有“长”、“宽”），代表一个二维的空间，也就是平面；用笔在上面画上一个圈和一个点，并假设圈和点可以在平面（纸）上移动（前后左右）。当然，点不可以穿透圈，此时圈对点拥有物理上的约束力。 然而，若将数张乃至数十张纸叠在一起时，原本的纸与后来的纸便组成了一个三维空间（同时拥有“长”、“宽”、“高”）；这样一来，原本处于二维的圈和点就具有了三维空间中的移动能力，即：前后左右上下。显然，圈对点的约束也就失去了。 从这个比喻中可以看出，二维前往三维的旅途中，一些物体之间的某些相互作用或许会消失；而类推至人类身上，这将是灾难性的后果。试想如果血管失去了对红细胞的约束，人类在前往四维空间的旅途中瞬间便会死于失血过多（当然，氧气也可以随意进出人体，或许并不需要血液——虽然有没有氧气还难说），因此从理论上来讲，前往四维乃至更高维的旅行是行不通的。 具体维数零维空间：没有长宽高，单纯的一个点，如奇点。 一维空间：一个数字参数(x)，一条有原点的直线数轴； 二维空间：两个数字参数(x,y)，一个垂直坐标系的平面； 三维空间：三个数字参数(x,y,z)，空间右手直角坐标系的立体空间； 四维空间：数学上四个数字参数(x,y,z,t)，在空间右手直角坐标系中加第四条轴线，与另外三条两两垂直的超立方体空间（参考超正方体，维度_数学漫步_3_四维空间）；物理上大多数都是指爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的“四维时空”概念；
2 2 2 2 a + b + c = R |
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