| 词条 | 斯特瓦尔特定理 |
| 释义 | 斯特瓦尔特(stewart)定理设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有 AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。 斯特瓦尔特定理的证明证明：在图2－6中，作AH⊥BC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有 AC^2=AD^2+DC^2-2DC·DH，（1） AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH。 （2） 用BD乘(1)式两边得 AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD，① 用DC乘(2)式两边得 AB^2·DC=AD^2·DC+BD^2·DC+2BD·DH·DC。② 由 ① + ② 得到 AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD+DC)+DC^2·BD+BD^2·DC =AD^2·BC+BD·DC·BC。 ∴AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。 或者根据余弦定理得 AB^2=PB^2+PA^2-2PB·PA·cos∠APB AC^2=PA^2+PC^2-2PA·PC·cos∠APC 两边同时除以PB·PA·PC得 AC^2·PB+AB^2·PC=(PB^2+PA^2)PC+(PA^2+PA^2)PB 化简即可（注：图中2-7A点为P点，BDC点依次为ABC) 斯特瓦尔特定理的逆定理成立 斯特瓦尔特定理的推论斯特瓦尔特定理还有如下推论 (1)若AB=AC，则AP^2=AB^2-BP·PC (2)若AP为BC中线，则AP^2=1/2(AB^2+AC^2)-1/4*BC^2 (3)若AP为∠A内角平分线，则AP^2=AB·AC﹣BP·PC (4)若AP为∠A外角平分线，则AP^2=﹣AB·AC+BP·PC (5)若BP/BC=λ，则AP^2=λ·﹙λ﹣1﹚·BC^2+﹙1﹣λ﹚·AB^2+λ·AC^2 斯特瓦尔特定理与托勒密定理和张角定理可以互化 斯特瓦尔特定理的常见应用方式①用于得到线段倍份关系 ②用于求解三角形问题 （诀窍是选则适当的三角形及其边上的点；灵活运用推论） |
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