任意三角形ABC中，D是底边BC上一点，联结AD，则有：AB^2*CD+AC^2*BD=(AD^2+BD*DC)*BC

也可以有另一种表达形式：设BD＝u，DC＝v，则有：

AD^2＝(b^2×u+c^2×v)/a-uv

证明：过点A作AE⊥BC于E, 设DE = x(假设底边四点从左到右顺序为B、D、E、C）

则

AE^2 = b^2 - (v-x)^2 = c^2 - (u+x)^2 = AD^2 - x^2

若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v

所以有 AD^2 = b^2 - v^2 + 2vx

AD^2 = c^2 - u^2 - 2ux

1*u式+2*v式得

AD^2(u+v) = b^2u + c^2v - uv(u + v)

故 AD^2 = (b^2u + c^2v)/a - uv

1)当AD是⊿ABC中线时， u = v = 1/2a AD^2 = (b^2+c^2-(a^2)/2)/2

2)当AD是⊿ABC内角平分线时， 由三角形内角平分线的性质， 得u = ac/(b+c), v =ab/(b+c)

设s = (a+b+c)/2

得 AD^2 = 4/(b+c)^2 *(bcs(s-a))

3)当AD是⊿ABC高时， AD^2 = b^2 - u^2 = c^2 - v^2

再由 u+v = a

得

AD^2 = 1/4a^2(2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4)

证明方法2：不妨设 角ADB=θ。AD=t

由余弦定理可得：c^2=t^2+u^2-2tu·cosθ ①

b^2=t^2+v^2+2tv·cosθ ②

①*v+②*u得：b^2u+c^2v=at^2+auv

整理即可得：t^2＝(b^2×u+c^2×v)/a-uv

证毕