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词条 斯台瓦尔特定理
释义

斯特瓦尔特(stewart)定理

设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有

AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。

证明:在图2-6中,作AH⊥BC于H。为了明确起见,设H和C在点D的同侧,那么由广勾股定理有

AC^2=AD^2+DC^2-2DC·DH,(1)

AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH。 (2)

用BD乘(1)式两边得

AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD,(1)′

用DC乘(2)式两边得

AD^2·DC=AD^2·DC+BD^2·DC+2BD·DH·DC。(2)′

由(1)′+(2)′得到

AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD+DC)+DC^2·BD+BD^2·DC

=AD^2·BC+BD·DC·BC。

∴AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。

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更新时间:2025/3/20 0:54:31