双曲复数定义

共轭、范数

除法

基

几何

历史

双曲复数定义

考虑数z = x + jy，其中x,y是实数，而量j不是实数，但j2是实数。

选取j2 = − 1，得到一般复数。取 + 1的话，便得到双曲复数。

定义双曲复数的加法和乘法如下，使之符合交换律、结合律和分配律：

(x + jy) + (u + jv) = (x + u) + j(y + v)

(x + jy)(u + jv) = (x + jy)(u) + (x + jy)(jv) = xu + jyu + jxv + j2yv = (xu + yv) + j(xv + yu)

共轭、范数

对于z = x + jy，其共轭值z * = x − jy。对于任何双曲复数z,w，

(z + w) * = z * + w *

(zw) * = z * w *

(z * ) * = z

可见它是自同构的。

定义内积为 。若 ，说z,w（双曲）正交。

双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积，即自身和其共轭值之乘积（闵可夫斯基范数）：

。

这个范数非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不变,。

除法

除了0之外，也不是每个双曲复数都有乘法逆元。

双曲复数可逆当且仅当其平方范数非零。

基

双曲复数有哪些幂等元？

列方程(x + jy)2 = (x2 + y2) + 2xyj。有四个解：1,0,s = (1 − j) / 2,s * = (1 + j) / 2。

s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的基。z = x + jy = (x − y)s + (x + y)s * 。

若将z = ae + be * 表示成(a,b)，双曲复数的乘法可表示成(a,b)(c,d) = (ac,bd) 。因此，在这个基里，双曲复数的加法和乘法和直和R⊕R同构。

共轭可表示为(a,b) * = (b,a)。

几何

有闵可夫斯基内积的二维实向量空间称为1+1闵可夫斯基空间，表示为R1,1。正如欧几理德平面R2的几何学可以复数表示，闵可夫斯基空间的几何学可以双曲复数表示。

在R，对于非零的a，点集 是双曲线。左边和右边的会经过a和 − a。a = 1称为单位双曲线。

共轭双曲线是 ，会分别经过ja和-ja。双曲线和共轭双曲线会被成直角的两条渐近线 分开。

欧拉公式的相应版本是ejθ = cosh(θ) + jsinh(θ)。

历史

1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金顿·克利福德以双曲复数表示自旋和。

20世纪，双曲复数成为描述狭义相对论的洛仑兹变换的工具，因为不同参考系之间的速度变换可由双曲旋转表达。——lp