φ函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。

定义

欧拉函数的值

定义

ψ函数即欧拉函数。

在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数、欧拉商数等。

例如，因为1,3,5,7均和8互质。

欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

欧拉函数的值

（小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身）。

若n是质数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

欧拉函数是积性函数，即是说若m,n互质，。证明：设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，和C可建立双射(一一对应)的关系。因此的值使用算术基本定理便知，

性质

n的欧拉函数 也是循环群 Cn 的生成元的个数（也是n阶分圆多项式的次数）。Cn 中每个元素都能生成 Cn 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， Cn 的所有子群都具有 Cd 的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将 Cd 的生成元个数相加，就将得到 Cn 的元素总个数：n。也就是说：

其中的d为n的正约数。

运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于的公式：

其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。

对任何两个互质的正整数a, m（即 gcd(a,m) = 1），，有

即欧拉定理。

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与m互质的a都属于环 的单位元组成的乘法群

当m是质数p时，此式则为：

即费马小定理。