概述

基本步骤

应用

变体(从0以外的数字开始 只针对偶数或只针对奇数 递降归纳法)

合理性

历史

概述

数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

基本步骤

（一）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数有关的命题P(n），

（1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（三）倒推归纳法（反向归纳法）：

（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；

（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；

（四）螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），

（1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。

应用

（1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

（3）证明数列前n项和与通项公式的成立。

（4）证明和自然数有关的不等式。

变体

在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从0以外的数字开始

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：

第一步，证明当n=b时命题成立。第二步，证明如果n=m(m≥b）成立，那么可以推导出n=m+1也成立。

用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。

只针对偶数或只针对奇数

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：

奇数方面：

第一步，证明当n=1时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

偶数方面：

第一步，证明当n=0或2时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

递降归纳法

数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。

归纳法的变体I

如果命题P(n）在n=1,2,3,......,t时成立，并且对于任意自然数k，由P(k),P(k+1）,P(k+2）,......,P(k+t-1）成立，其中t是一个常量，那么P(n）对于一切自然数都成立.

合理性

数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。比如，由下面的公理可以推出数学归纳法原理：

自然数集是良序的。

注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。

历史

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成：

递推的基础：证明当n=1时表达式成立。

递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。

这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。

或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：

第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与之相邻的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：

（1）第一块骨牌倒下；

（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。

这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。

解题要点：

数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，

第一步为：验证n取第一个自然数时成立

第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

最后一步总结表述