《数书九章》，中国南宋数学家秦九韶唯一的数学著作。书中共列算题81问，分为9类。全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类。题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。该书在数学内容上颇多创新，是对《九章算术》的继承和发展。它概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰。

简介

分类

内容

评价

《数书九章·序》今译

《数书九章》原序

诗九首(一 二 三 四 五 六 七 八 九)

《数书九章·序》译文

诗九首 译(一 二 三 四 五 六 七 八 九)

简介

《数书九章》( Nine Chapters of Mathematical Book)

中国南宋数学家秦九韶撰。秦九韶早年曾在杭州学习，后又从隐君子学习数学，成年后先后在湖北、安徽、江苏等地做官。1244年因母亡故回家守孝，潜心数学研究，于1247年9月著成《数术大略》，明代后期改名为《数书九章》。这是秦九韶唯一的数学著作，但仅此就使他成为中国宋元时期杰出的数学家之一。

《数书九章》最初叫《数术大略》或《数学大略》(9卷)，分为9类，每类为一卷。约到元代时更名为《数学九章》，内容也由9卷改为18卷。明初抄本被收入《永乐大典》(1408)，另抄本藏于文渊阁。明代学者王应遴传抄时定名为《数书九章》，明末学者赵琦美再抄时沿用此名。抄本形式流传到清代，1781年由李锐校订后收入《四库全书》。1842年由宋景昌校订后收入《宜稼堂丛书》第一次印刷出版，结束了近600年的传抄历史。1898年收入《古今算学丛书》，为第二次印刷。1936年又分别被收入《丛书集成初编》和《国学基本丛书》出版，流传甚广。目前还有十几种抄本传世，成为学者研讨时的珍品。

分类

《数书九章》共列算题81问，分为9类，每类9个问题。主要内容如下：

(1)大衍类：一次同余式组解法。(2)天时类：历法计算、降水量。(3)田域类：土地面积。(4)测望类：勾股、重差。(5)赋役类：均输、税收。(6)钱谷类：粮谷转运、仓窖容积。(7)营建类：建筑、施工。(8)军族类：营盘布置、军需供应。(9)市物类：交易、利息。

内容

全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类。题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。

《数书九章》在数学内容上颇多创新。中国算筹式记数法及其演算式在此得以完整保存；自然数、分数、小数、负数都有专条论述，还第一次用小数表示无理根的近似值；卷1大衍类中灵活运用最大公约数和最小公倍数，并首创连环求等，借以求几个数的最小公倍数；在《孙子算经》中“物不知数”问题的基础上总结成大衍求一术，使一次同余式组的解法规格化、程序化，比西方高斯创用的同类方法早500多年，被公认为“中国剩余定理”；卷17市物类给出完整的方程术演算实录，书中还继贾宪增乘开方法进而作正负开方术，使之可以对任意次方程的有理根或无理根来求解，比19世纪英国霍纳的同类方法早500多年；书中卷5田域类所列三斜求积公式与公元1世纪希腊海伦给出的公式殊途同归；卷7、卷8测望类又使《海岛算经》中的测望之术发扬光大，再添光彩。

评价

《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰。当它还是抄本时就先后被收入《永乐大典》和《四库全书》。1842年第一次印刷后即在民间广泛流传。秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着中国数学的研究方向。焦循、李锐、张敦仁、骆腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的著述都是在《数书九章》的直接或间接影响下完成的。秦九韶的成就也代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。

《数书九章·序》今译

(2005-7-13) 查有梁

秦九韶为《数书九章》写的“序”，是一篇数学与语文高水平整合的杰作。如果我们要编一本《中华科技古文观止》，那么，《数书九章·序》是必选的名著。我们要理解《数书九章》，不可不认真研读秦九韶自己为此书写的原序。只有认真研读了《数书九章·序》，才能从整体上把握秦九韶的数学观及其方法论。

这里先展出《数书九章·序》的全部原文，读者首先从原序中品味秦九韶的文采，再领会其中深邃的哲理。可能有些句子人们不甚了解，这也没有关系。多读几遍，其义自见。《数书九章·序》的前半部是“文”，后半部是“诗”。我同样先按文的形式，后照诗的形式，意译这篇杰作，也许有助于读者理解秦九韶的原序。我的译文，只是尝试，仅供参考。奇文共欣赏，疑义相与析。

《数书九章》原序

周教六艺，数实成之。学士大夫，所从来尚矣。其用本太虚生一，而周流无穷，大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物，讵容以浅近窥哉?若昔推策以迎日，定律而知气。髀矩浚川，土圭度晷。天地之大，囿焉而不能外，况其间总总者乎？爰自河图、洛书，闿发礻必奥，八卦、九畴，错综精微；极而至于大衍、皇极之用。而人事之变无不该，鬼神之情莫能隐矣。圣人神之，言而遗其粗；常人昧之，由而莫之觉。要其归，则数与道非二本也。汉去古未远，有张苍、许商、乘马延年、耿寿昌、郑〔元〕、张衡、刘洪之伦，或明天道，而法传于后；或计功策，而效验于时。后世学者自高，鄙不之讲，此学殆绝，惟治历畴人，能为乘除，而弗通于开方衍变。若官府会事，则府史一二系之。算家位置，素所不识，上之人亦委而听焉。持算者惟若人，则鄙之也宜矣。呜呼!乐有制氏，仅记铿锵，而谓与天地同和者止于是，可乎？今数术之书，尚三十余家。天象历度，谓之缀术；太乙、壬、甲，谓之三式，皆曰内算，言其秘也。九章所载，即周官九数，系于方圆者为蚩术，皆曰外算，对内而言也。其用相通，不可岐二。独大衍法不载九章，未有能推之者，历家演法颇用之，以为方程者误也。且天下之事多矣，古之人先事而计，计定而行。仰观俯察，人谋鬼谋，无所不用其谨，是以不愆于成，载籍章章可覆也。后世兴事造始，鲜能考度，浸浸乎天纪人事肴殳缺矣。可不求其故哉?九韶愚陋，不闲于艺。然早岁侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学。际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间。尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落，信知夫物莫不有数也。乃肆意其间，旁诹方能，探索杳渺，粗若有得焉。所谓通神明，顺性命，固肤末于见；若其小者，窃尝设为问答，以拟于用。积多而惜其弃，因取八十一题，厘为九类，立术具草，间以图发之。恐或可备博学多识君子之余观，曲艺可遂也。原进之于道，倘曰，艺成而下，是惟畴人府史流也，乌足尽天下之用，亦无瞢焉。

诗九首

时淳佑七年九月鲁郡秦九韶叙。且系之曰：

一

昆仑磅礴，道本虚一。

圣有大衍，微寓于易。

奇余取策，群数皆捐。

衍而究之，探隐知原。

数术之传，以实为体。

其书九章，惟兹弗纪。

历家虽用，用而不知。

小试经世，姑推所为。

述大衍第一。

二

七精四穹，人事之纪。

追缀而求，宵星昼晷。

历久则疏，性智能革。

不寻天道，模袭何益。

三农务穑，厥施自天。

以滋以生，雨膏雪零。

司牧闵焉，尺寸验之。

积以器移，忧喜皆非。

述天时第二。

三

魁隗粒民，甄度四海。

苍姬井之，仁政攸在。

代远庶蕃，垦菑日广。

步度庀赋，版图是掌。

方圆异状，斜窳殊形。

蚩术精微，孰究厥真。

差之毫厘，谬乃千百。

公私共弊，盖谨其籍。

述田域第三。

四

莫高匪山，莫浚匪川。

神禹奠之，积矩攸传。

智创巧述，重差夕桀。

求之既详，揆之罔越。

崇深广远，度则靡容。

形格势禁，寇垒仇墉。

欲知其数，先望以表。

因差施术，坐悉微渺。

述测望第四。

五

邦国之赋，以待百事。

田亥田经入，取之有度。

未免力役，先商厥功。

以衰以率，劳逸乃同。

汉犹近古，税租以算。

调均钱谷，河菑之扦。

惟仁隐民，犹已溺饥。

赋役不均，宁得勿思。

述赋役第五。

六

物等敛赋，式时府庾。

粒粟寸丝，褐夫红女。

商征边籴，后世多端。

吏缘为欺，上下俱殚。

我闻理财，如智治水。

澄源浚流，维其深矣。

彼昧弗察，惨急烦刑。

去理益远，吁嗟不仁。

述钱谷第六。

七

斯城斯池，乃栋乃宇。

宅生寄命，以保以聚。

鸿功雉制，竹个木章。

匪究匪度，财蠹力伤。

围蔡而栽，如子西素。

匠计灵台，俾汉文惧。

惟武图功，惟俭昭德。

有国有家，兹焉取则。

述营建第七。

八

天生五材，兵去未可。

不教而战，维上之过。

堂堂之阵，鹅鹳为行。

营应规矩，其将莫当。

师中之吉，惟智仁勇。

夜算军书，先计攸重。

我闻在昔，轻则寡谋。

殄民以幸，亦孔之忧。

述军旅第八。

九

日中而市，万民所资。

贾贸滞鬻，利析锱铢。

滞财役贫，封君低首。

逐末兼并，非国之厚。

述市易第九。

《数书九章·序》译文

周代的教育内容有“六艺”(礼、乐、射、御、书、数)，数学是其中之一。学者和官员们，历来重视、崇尚这门学问。为了应用，人们要认识世界的规律，因而产生了数学。数学具有广泛的应用性。从大的方面说，数学可以认识自然，理解人生；从小的方面说，数学可以经营事务，分类万物。难道容许将数学视为一门浅近的学问吗?

过去，历算家们用筹算推演，制定天文历法；发现自然规律，预测季节变化。用“髀”、“矩”测山高河深，用“圭表”量日影，以定时刻与节气。宇宙如此之大，尚且不能置于数学之外，那么，宇宙之中的各种各样的事物，难道能离开数学吗？

自从“河图”、“洛书”，开创发现数学的奥秘；《周易》“八卦”、《九章算术》，在解决错综复杂问题时，显示了数学的精妙细微；“大衍术”在历法计算，以及解诸多问题中的应用，使数学的精微作用发挥到了极大。数学对于认识人世间各类事物的变化，无所不包。自然界中物质运动的聚散，也不能隐匿于数学之外。古代的圣贤学者很高明，了解许多数学的精微之处，留下的文学却十分简略，使一般人难于明白，难于领悟其中之奥秘。探究其原因，是因为“数学”与“哲学”同样深奥，本质一致，并不是两回事。

汉代离上古并不很远，但有张苍、许商、乘马延年、耿寿昌、郑兴、郑众、张衡、刘洪等一批数学家和历算家，他们之中，有的精通天文历法，将算理算法传于后世；有的长于用筹运算，计算结果当时就能得到检验。

后世的一些学者，把自己看得太高，鄙视前人的成就，不虚心学习，不继承发展，使数学这门学问中，有的内容几乎断绝失传。只有懂历法的历算家们，会乘除运算，但对高深的“开方术”、“大衍术”，就不通晓了。他们认为，官府的会计事务，只需少数人懂得加减计算就行了。数学家的地位和作用，而今，从不被人们所认识，当权人士对此状况，也听之任之。算学家只当作工具使用，数学这门学问遭到鄙视，也就理所当然了。

可悲啊!这就犹如制造乐器的人，仅仅只能拨弄出乐器的声音，就说这是与天下的知音者一道，奏出了美妙悦耳的乐章，难道能够这样说吗?

当今数学之书，计有三十余家。天象历法的计算方法，称之为“缀术”(“逼近之术”)；应用于占卜术中的计算有“太乙、六壬、遁甲”，称之为“三式”，这些都统称为“内算”，它们的算法是保密的，内传而不外传。《九章算术》所载的内容，就是《周礼》中的“九数”(《九章算术》的九章是：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股)；有关测量方位、地形之高、深、远、近的方法，称为“直术”，这些都统称为“外算”，它们的算法是公开的。“外算”是相对于“内算”而言的。“外算”与“内算”在应用上是彼此相通的，不应该视为两种截然不同的算法。

唯独“大衍术”，没有载于《九章算术》之中。没有见到有人，能将“大衍术”的算法程序推演出来。历算家在制定历法时，应用“大衍术”进行计算的颇多，如果以为它是“方程术”，那就谬误了。

宇宙人世间的事情太多了，古代的人为解决某一问题，先进行策划，再确定方法程序，然后按程序实施行动。他们仰观天文，俯察地理，应用感官，应用直觉，谨慎地采用各种方法。为了让他们取得的成果不致被埋没，便使用文字将这些成果记载下来，一代一代流传后世。

后人在做事时，往往从头开始，很少考虑前人已有的成果，渐渐地在解决自然和人事的诸多问题时，就混乱不堪，缺少根据。我们为什么不可以对前人的成果，多多研究一番呢?

九韶愚昧，才疏识陋，但对学习“六艺”，却不曾偷闲。我在青少年时代曾随父亲到过都城(临安，南宋京城，今杭州市)，因此有机会访问国家天文台的历算家，向他们学习历算。此外，我还从隐居的学者那里学习数学。那时，元人军队入侵四川，长年路途阻塞，自己不得不长期处于战乱之中。尝尽艰险，历经忧患，就这样辗转渡过了十年光阴，使人心力枯竭，元气失落。

但我坚信，世间万物都与数学相关。于是，我很有兴趣地钻在数学之中，向学者、能人求教，深入探索数学之精微，初步取得一些成果。对于数学的大的方面，认识自然，理解人生，我并没有什么发现；但在数学的小的方面，对于经营事务，分类万物，却有所得，我尝试以问答形式，拟出若干应用问题。历经多年，积累渐增，我怕一旦丢失甚为可惜，于是就取八十一个问题，分为九类，写出解题方法及运算程序，有的问题还在其中作图以示之。

我的这些成果，或许可供博学多识的学人闲暇之时品赏，这便达到了本书的目的，我也心满意足了。我原本要把数学提升到哲理(道)的高度，实在难以做到。如果有人说：这些数学成果，仅仅不过是历算学家们流传下来的东西，不能满足社会广泛的实际需要。我相信，这也不会使本书黯然失色。

诗九首 译

南宋淳佑七年(公元1247年)九月鲁群秦九韶序且附诗九首：

一

巍巍昆仑，气势磅礴，

世界本原，在于数学。

圣人发现推算历法的大衍术，

大衍微妙之处源于《周易》。取奇数的竹棍进行运演，

一分为二，舍去模的倍数。

用“大衍术”，解出未知数，

要深入探索奥秘，方知原由。数学这门学问的发生发展，

要依靠实际应用作出判断。

我这里著有《数书九章》，

首先就记载大衍术之原理。历算家虽然知道如何计算，

却不知这些算法之所以然。

我尝试作出解释，让人明白，

姑且看一看由特殊推广到一般。此章称为“大衍”，列为第一。

二

七大行星，苍穹回旋，

世间诸事，变化多端。

用“缀术”逼近天体运动，

白天日影测，夜里星象观。历法用久了，误差就增大，

历算家就得改革旧历。

如果不实际去观测天体，

沿袭旧的模式绝对无益。平原山川的农民耕种收获，

全靠大自然的风调雨顺。

阳光雨露，庄稼滋生，

雨水淋淋，雪水润润。农业官员忧心着气象天文，

下了多少雨?用器皿测量。

积满了水再换上一个器皿，

有时测之忧，有时测之喜。此章称为“天时”，列为第二。

三

百姓虽小，当放首位，

审时度势，以观世界。

苍老的妇女生活有保障，

这就是施行仁政之所在。历史一朝朝，人口一代代，

开垦的土地，一天天增多。

需要量度田亩，整治赋税，

重要的是精确进行测量统计。田地形状，方圆各异，

有斜、有正、有高、有低。

测量技术，内容精深，

潜心研究，方能辨明。测量之时，差之毫厘，

最后结果，谬之千里。

于公于私，皆是大弊，

征收赋税理当仔细又仔细。此章称为“田域”，列为第三。

四

山之不高，莫称高山，

水之不深，莫称大川。

大禹治水时，测定山川，

使用的矩尺才得以后传。智慧的创造，巧妙的论述，

用“重差术”进行测算。

求解之法，详尽而又周全，

测量的对象总是变化多端。又高、又深、又广、又远，

进行测量决不是容易简单。

有时是形势险要，进之不去，

有时是敌方营垒，不能着边。要求出未知数，怎么办?

先后两次用“表”测量。

用两次测量之差进行计算，

远离其境也可知高深广远。此章称为“测望”，列为第四。

五

国家规定，征收赋税，

民间百事，正待兴办。

要依据田亩人口的多少，

取之有度必须进行测算。徭役虽然可以不免，

但应事先商量和计算。

应用比例分配要恰当，

赋税徭役要均匀承担。汉代距古代并不太远，

他们按田亩比例收税。

协调均衡收的谷与钱，

用以抵御灾害，防洪抗旱。当官的要施仁政，为民着想，

设身处地，犹如自己挨饿受灾。

如果赋税徭役分配不均，

难道能让人心安理得吗?将此章称“赋役”，列为第五。

六

纳粮上税，要看等级，

粮食入库，要看时节。

一粒粒粟，一寸寸丝，

都是男男女女的劳动所得。官府要向人民征粮收税，

后世的腐败之风频频发生。

达官贵人相互攀缘，欺榨百姓，

这些大小贪官污吏，用尽心机。我曾听说治理财政，

理当犹如智者治水。

正本清源，有条不乱，

治标治本，消除隐患。那些愚蠢贪官视而不见，

人民悲惨，还用刑不断。

这是离开理智愈来愈远，

为官不仁啊!可叹可叹!此章称为“钱谷”，列为第六。

七

如此房屋，如此城墙，

国家栋梁，社会保障。

百姓居住的地方，

财富聚散的市场。城市建筑作用巨大，

一定要制定好规划。

如果策划与营造，不合章法，

就会劳民伤财，浪费很大。楚昭王围困蔡国时坚木筑墙，

这是采纳了子西的建议。

汉代工匠设计天文观象台，

汉文帝也担忧造价太昂贵。唯有武力才能争夺战功，

唯有节俭才能生财积德。

国家太平，家庭才有安全，

而今我们从哪里取得规范?此章称为“营建”，列为第七章。

八

自然界有金木水土火，

金属兵器，非有不可。

士兵不训练就去打仗，

这是上级的严重过错。威威阵容，严严步履，

应以鹅鹳行列为楷模。

军营布阵，当有规矩，

这是将军们的职责。军队打仗要取得胜利，

依靠官兵的智、仁、勇。

夜读兵书，重在领悟，

首先就要讲究谋略。我听说在过去的战例中，

轻敌，就会缺智寡谋，

侥幸，就会失败害民，

这不是一孔之见的担忧。此章称为“军旅”，列为第八。

九

太阳东升，市场热闹，

万民生计，买卖依靠。

商人贸易才能积累财富，

一分一毫他们都会计较。为富不仁者奴役贫民百姓，

封疆大吏们却要点头称好。

舍本求末，兼并财富，

这并非合理的治国之道。此章称为“市易”，列为第九。