| 词条 | 数论 |
| 释义 | 1 数学领域概念数论的本质是对素数性质的研究。整数的基本元素是素数，所以，数论的本质是对素数性质的研欧几里得的《几何原本》究。2000年前，欧几里得证明了有无穷个素数。既然有无穷个，就一定有一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式。它是和平面几何学同样历史悠久的学科。高斯誉之为“数学中的皇冠” 按照研究方法的难易程度来看，数论大致上可以分为初等数论（古典数论）和高等数论（近代数论）。 ◎ 数论概述数论就是指研究整数性质的一门理论。整数的基本元素是素数，所以数论的本质是对素数性质的研 究。2000年前，欧几里得证明了有无穷个素数。寻找一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式，是古典数论最主要的问题之一。它是和平面几何学同样历史悠久的学科。高斯誉之为“数学中的皇冠” 按照研究方法的难易程度来看，数论大致上可以分为初等数论（古典数论）和高等数论（近代数论）。 初等数论主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质。初等数论也可以理解为用初等数学方法研究的数论。其中最高的成就包括高斯的“二次互反律”等。 高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、算术代数几何等等。 ◎ 数论门类◎ 初等数论同上所述， 初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。 初等数论中经典的结论包括 算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、费马大定理、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是 费马小定理）、高斯的二次互逆律 ， 勾股方程的商高定理、 佩尔方程的连分数求解法等等。 ◎ 解析数论借助微积分及复分析 （即复变函数）来研究关于整数的问题，主要又可以分为乘性数论与加性数论两类。乘性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。 解析数论的创立当归功于黎曼。他发现了黎曼zeta函数之解析性质与数论中的素数分布问题存在深刻联系。确切的说， 黎曼ζ函数的非平凡零点的分布情况决定了素数的很多性质。黎曼猜测， 那些零点都落在复平面上实部为1/2的直线上。这就是著名的黎曼假设--被誉为千禧年七大世界数学难题之一。值得注意的是， 欧拉实际上在处理素数无限问题时也用到了解析方法。 解析数论方法除了圆法、筛法等等之外， 也包括和椭圆曲线相关的模形式理论等等。此后又发展到自守形式理论，从而和表示论联系起来。 ◎ 代数数论代数数论，将整数环的数论性质研究扩展到了更一般的整环上，特别是代数数域。一个主要课题就是关于代数整数的研究，目标是为了更一般地解决不定方程 求解的问题。其中一个主要的历史动力来自于寻找费马大定理的证明。 代数数论更倾向于从代数结构角度去研究各类整环的性质， 比如在给定整环上是否存在算术基本定理等等。 这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密， 它实际上也构成了交换代数理论的一部分。它也包括了其他深刻内容，比如表示论、p-adic理论等等。 ◎ 几何数论 数的几何主要在于通过几何观点研究整数（在此即格点， 也称整点）的分布情形。最著名的定理为Minkowski 定理。这门理论也是有闵科夫斯基所创。对于研究二次型理论有着重要作用。 ◎ 计算数论借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。 ◎ 超越数论研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。此外它也探讨了数的丢番图逼近理论。 ◎ 组合数论利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由艾狄胥开创的思路。比如兰伯特猜想的简化证明。 ◎ 算术代数几何这是数论发展到目前为止最深刻最前沿的领域， 可谓集大成者。它从代数几何的观点出发，通过深刻的数学工具去研究数论的性质。比如外尔斯证明费马猜想就是这方面的经典实例。整个证明几乎用到了当时所有最深刻的理论工具。 当代数论的一个重要的研究指导纲领，就是著名的郎兰兹纲领。 ◎ 其他的研究方法除了上述传统方法之外，也有其他一些研究数论之法， 但是没有完全得到数学家的认可。比如有物理学家，通过量子力学方法声称证明了黎曼假设。 ◎ 发展简况公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法： （一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 （二）後来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。. （三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。 ◎ 古希腊数学家——欧几里得自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公因数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、合数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。可以认为， 质数是整个数论的研究基石。 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，但是仍然没有找到素数产生的模式。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术研究》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。在《算术研究》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和已知的方法进行了分类，还引进了新的方法。高斯在这一著作中主要提出了同余理论， 并发现了著名的二次互反律， 被其誉之为“数论之酵母”。 黎曼在研究ζ函数时，发现了复变函数的解析性质和素数分布之间的深刻联系， 由此将数论领进了分析的领域。这方面主要的代表人物还有英国著名数论学家哈代 、李特伍德、拉马努金等等。在国内，则有华罗庚、陈景润、王元等等。 另一方面， 由于此前人们一直关注费马大定理的证明， 所以又发展出了代数数论的研究课题。比如库莫提出了理想数的概念--可惜他当时忽略了代数扩环的唯一分解定理不一定成立）。高斯研究了复整数环的理论--即高斯整数。他在3次情形的费马猜想中也用了扩环的代数数论性质。代数数论发展的一个里程碑，则是希尔伯特的《数论报告》。 随着数学工具的不断深化， 数论开始和代数几何深刻联系起来， 最终发展称为当今最深刻的数学理论，诸如算术代数几何， 它们将许多此前的研究方法和研究观点最终统一起来， 从更加高的观点出发，进行研究和探讨。 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。 ◎ 整除问题◎ 整除数的特征1．末位数是偶数能被2整除；末位数是0或5能被5整除。末两位是4或25的倍数的数，能被4或25整除。末三位是8或125的倍数的数，能被8或125整除。 2．各个数位数字之和是3或9的倍数的数，能被3或9整除。 3．奇数位各个数字之和与偶数位的各个之和的差为11的倍数（奇数和如果不够减，加上11*n(n为整数)），，则这个数能被11整除。 4．一个多位数把他的末三位和其他位数分成两部分，则两部分的差是7,11,13的倍数，则这个是能被7,11,13整除。 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，非0自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们合起来叫做整数。（注：现在，自然数的概念有了改变，包括正整数和0） 对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。又叫算术，它与几何学是最古老的两门数学分支。传统的几何学已经枯萎，而传统的数论（即算术）还有大量的问题无法解决。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行，利用这一性质人们发明了大数密码体系。至今仍然关系着国家的安全。 人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数浅薄地划分可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）；深刻地划分可以分为素数，合数，“1”等。两千多年来，数论学有一个重要的任务，就是寻找素数性质及分布规律，为此，花费了巨大的心血。利用素数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公因数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、合数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。可以认为， 质数是整个数论的研究基石。 ◎ 十八世纪末时期到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，但是仍然没有找到素数产生的模式。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术研究》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。在《算术研究》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和已知的方法进行了分类，还引进了新的方法。高斯在这一著作中主要提出了同余理论， 并发现了著名的二次互反律， 被其誉之为“数论之酵母”。 黎曼在研究ζ函数时，发现了复变函数的解析性质和素数分布之间的深刻联系， 由此将数论领进了分析的领域。这方面主要的代表人物还有英国著名数论学家哈代 、李特伍德、拉马努金等等。在国内，则有华罗庚、陈景润、王元等等。 另一方面， 由于此前人们一直关注费马大定理的证明， 所以又发展出了代数数论的研究课题。比如库莫提出了理想数的概念--可惜他当时忽略了代数扩环的唯一分解定理不一定成立）。高斯研究了复整数环的理论--即高斯整数。他在3次情形的费马猜想中也用了扩环的代数数论性质。代数数论发展的一个里程碑，则是希尔伯特的《数论报告》。 随着数学工具的不断深化， 数论开始和代数几何深刻联系起来， 最终发展称为当今最深刻的数学理论，诸如算术代数几何， 它们将许多此前的研究方法和研究观点最终统一起来， 从更加高的观点出发，进行研究和探讨。 ◎ 现代由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。 ◎ 数论中的猜想和问题数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。目前数论中最著名的核心猜想是黎曼猜想以及歌德巴赫猜想。在此之前1995年怀尔斯和泰勒证明了历时350年的费马猜想（费马大定理）。其他的“明珠”包括：孪生素数问题、梅森素数问题等等…… ◎ 中国数论及专家在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召、潘承洞等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。陈景润、王元等在“筛法”和“哥德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩；周海中在著名数论难题——梅森素数分布的研究中取得了世界领先的卓著成绩。 2 （德）哈塞数学著作◎ 图书信息书 名: 数论 作者：（德）哈塞 出版社： 世界图书出版公司 出版时间： 2010-9-1 ISBN: 9787510027352 开本： 16开 定价: 79.00 元 ◎ 内容简介In spite of the fact that nowadays there are quite a few books on algebraic number theory available to the mathematical community, there seems to be still a strong need for a fundamental work like IIasse's ,,Zahlentheorie". This impression is corroborated by the great number of inquiries the editor received about the date of appearance of the English translation of Hasse's book. One main reason for the unbroken interest in this book lies probably in its vivid presentation of the divisortheoretic approach to algebraic number theory, an approach which was developed by Hasse's former teacher IIensel and further expanded by Hasse himseff. Hasse does not content himself with a mere presentation of the number-theoretic material, but he motivates the basic ideas and questions, comments on them in detail,and points out their connections with neighboring branches of mathematics. ◎ 目录part ⅰ. the foundations of arithmetic in the rational number field chapter 1. prime decomposition function fields chapter 2. divisibility function fields chapter 3. congruences function fields the theory of finite fields chapter 4. the structure of the residue class ring mod m and of the reduced residue class group mod m 1. general facts concerning direct products and direct sums 2. direct decomposition of the residue class ring mod m and of the reduced residue class group mod m 3. the structure of the additive group of the residue class ring mod m 4. on the structure of the residue class ring mod pμ 5. the structure of the reduced residue class group mod pμ function fields 3 素数位置简洁代数式 |
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