概述

实数集的公理系统一((I) (R，+，×）为一个域 (II) R 为一个全序集 (III) R 满足阿基米德公理 (IV) R 有连续性)

实数集的公理系统二((I) 加法公理 (II) 乘法公理 (I,II) 加法与乘法的联系 (III) 序公理 (I,III) R中加法与序关系的联系 (II,III) R中乘法与序关系的联系 (IV) 完备(连续)公理)

实数模型(一、十进位小数模型 二、柯西数列模型 三、戴德金分划模型)

实数的连续性命题(一、上（下）确界原理 二、单调有界数列 三、闭区间套引理 四、有限覆盖引理 五、极限点引理 六、有界闭区间的序列紧性 七、完备性)

数学中的数，就像物理中的时间一样，人人都知道，唯独专家们不这样理解它。简言之，

实数公理：实数空间R是一个完备的阿基米德序域。

概述

实数理论包括对实数的结构,运算法则,和拓扑性质等方面的问题的研究。

实数集有多重结构，例如:

代数结构：从代数上看实数集是一个域。

序结构：实数集是一个有序集。

拓扑结构：实数集是一个拓扑空间,并且有诸如完备性,可分性,和列紧性等一些非常好的性质。

实数理论包含了深刻而丰富的信息,实数理论是极限的基础,也是近代分析数的最重要基础之一。

实数集的公理系统一

(I) (R，+，×）为一个域

即 R 上定义了加法+和乘法×运算，且它们构成一个域。

(II) R 为一个全序集

即 R 上定义了一个全序关系 ≤。

(III) R 满足阿基米德公理

阿基米德公理：b∈R，a>0 则存在 n∈N，使得 n·a>b。

(IV) R 有连续性

R 满足实数连续性命题。

实数集的公理系统二

(I) 加法公理

确定了一个映射（加法运算）

+：R×R→R，

使得

1. 有中性元 0 存在（叫做加法零元），使对任何的 x∈R，

x+0=0+x=x。

2. 每个元 x∈R 有元 -x∈R，叫做 x 的负元，使得

x+(-x)=(-x)+x=0。

3. 运算 + 是结合的，即R中任何 x,y,z 满足

x+(y+z)=(x+y)+z。

4. 运算 + 是交换的，即R中的任何 x,y 满足

x+y=y+x。

加法公理说明，R 是阿贝尔群。

(II) 乘法公理

确定了一个映射（乘法运算）

·：R×R→R，

满足

1. 有中性元 1∈R\\0 存在（叫做单位元），使对任何的 x∈R，

x·1=1·x=x。

2. 每个元 x∈R\\0 有元 y∈R\\0 ，叫x的逆元，如果

x·y=y·x=1。

3. 运算是结合的，即任何 x,y,z 满足

x·(y·z)=(x·y)·z。

4. 运算 + 是交换的，即 R 中的任何 x,y 满足

x·y=y·x。

加法公理说明，集 R\\0 关于乘法是(乘法)群。

(I,II) 加法与乘法的联系

乘法对加法有分配性，即对任何 x,y,z ∈R，

x+(y·z)=x·z+y·z。

以上所有公理表明，R 是一个代数域。

(III) 序公理

R的元素间有关系 ≤，即对R的元素 x 与 y，或满足 x≤y，或不满足。同时有

1. 对任何x∈R，x≤x。

2. (x≤y)且(y≤x)蕴含(x=y)。

3. (x≤y)且(y≤z)蕴含(x≤z)。

4. 对任何x,y∈R，或者(x≤y)，或者(y≤x)。

这说明实数集对它的元素间的不等关系来说，是线性序(或全序)集。

(I,III) R中加法与序关系的联系

如果x,y,z是R中的元素，那么

(x≤y)蕴含(x+z≤y+z)。

(II,III) R中乘法与序关系的联系

如果x,y,z是R中的元素，那么

(0≤x)且(0≤y)蕴含(0≤x·y)。

(IV) 完备(连续)公理

如果 X 与 Y 是 R 的非空子集，且对任何 x∈X，y∈Y，有 x≤y，那么，存在 c∈R，使对任何 x∈X，y∈Y 有x≤c≤y。

以上两个实数公理系统是等价的。可以看出，它们只在对待阿基米德原理上有所不同。在公理系统二中，阿基米德原理可作为公理的推论（这是因为公理系统二相对于一额外定义了序关系与加法乘法运算的关系）。

满足这些公理的任何集合 R，都可被认为是实数集的具体实现，或称为实数模型。

实数模型

一、十进位小数模型

二、柯西数列模型

三、戴德金分划模型

实数的连续性命题

一、上（下）确界原理

有上（下）界的非空数集有上（下）确界。

二、单调有界数列

单调增（减）有上（下）界的数列必收敛。

三、闭区间套引理

（柯西-康托尔原理）

任何有界闭区间套存在一点 c 属于这些闭区间的每一个。且如果区间长度趋于 0，那么 c 是所有闭区间的唯一公共点。

四、有限覆盖引理

（博雷尔-勒贝格原理）

在覆盖一个闭区间的任何开区间族中，存在着覆盖这一闭区间的有限子族。

五、极限点引理

（波尔查诺-魏尔斯特拉斯原理）

每个无穷有界集至少有一个极限点。

六、有界闭区间的序列紧性

有界数列必有收敛子列。

七、完备性

柯西列必收敛。

以上七条命题等价。在引入实数时，不论是以何种方式，都应证明七个实数连续性等价命题之一成立，从而其它六个也成立。