在物理学中， 因果性是一个很微妙的概念。 一方面， 它是现实世界中最基本的经验事实之一； 另一方面， 却很少有物理理论直接把因果性作为前提条件。 由此导致的一个结果是： 某些物理理论起码在形式上允许因果性的破坏。

证明奇点定理的第二步

侧重点是时空的因果结构。 广义相对论就是这样的一个理论。 在广义相对论中， 破坏因果性最简单的方式是产生闭合非类空曲线 。 为了对这种类型的因果性破坏进行界定， 人们引进了一个条件， 叫做因果性条件 (causality condition)： 一个时空如果不存在闭合非类空曲线， 则称为满足因果性条件。 由于所有有质量粒子都只能沿类时曲线运动， 因此人们还提出了一个比因果性条件稍弱的条件， 称为时序条件 (chronology condition)， 它与因果性条件的差别在于把 “不存在闭合非类空曲线” 减弱为 “不存在闭合类时曲线”。

虽然时序条件比因果性条件稍弱， 但可以证明， 一个时空如果在时序条件之外还满足测地完备性， 则该时空将不仅满足因果性条件 (即不存在闭合非类空曲线)， 而且不存在可以无限逼近闭合非类空曲线的曲线。 这个比因果性条件更强的性质， 被称为强因果性条件 (strong causality condition)， 它在奇点定理的研究中是一个重要概念。

奇点定理研究中的另一个重要概念是所谓的封闭陷获面 (closed trapped surface)。 这是一种特殊的二维封闭类空曲面， 所有与之正交的类光测地线束无论向内还是向外都是趋于汇聚的 (即 θ<0)。 从物理上讲， 这意味着从封闭陷获面发出的光波的波前是收缩的。 这种曲面在广义相对论中并不鲜见， 比如 Schwarzschild 解中所有 r<2m 的曲面都具有这一性质 (这表明任何物质 - 包括光波 - 都不能从 Schwarzschild 黑洞中逃脱)。 1983 年， R. Schoen 与 S. T. Yau (丘成桐) 证明了一个相当普遍的结果： 只要物质的分布足够致密， 就必定会出现封闭陷获面。

由于封闭陷获面的定义建立在类光测地线的行为之上， 因此我们引进与类光测地线有关的两个特殊点集： E+(S) 与 E-(S)， 分别由从曲面 S 发出的未来与过去方向的类光测地线组成[注一]。 在这一定义中我们假定 S 上任意两点间都不存在类时连接， 这种点集 S 被称为非时序点集 (achronal set)。 封闭陷获面由于是类空的， 因此显然也是非时序点集。 可以证明， 如果强能量条件成立， 则对于任何封闭陷获面 S， E+(S) 与 E-(S) 紧致。

我们知道， 物理上所有的相互作用都是非类空传播的 (也就是说相互作用的传播速度不大于光速)。 因此， 如果我们考虑时空中某一点上的任何物理性质， 它所能依赖的初始条件只能位于与该点具有非类空连接的时空点上。 反过来说， 给定某个时空区域 S 上的初始条件， 我们能完全确定其性质的时空区域是由那样的一些点组成的： 所有通过那些点的过去不可延拓非类空曲线都与 S 相交。 这一时空区域被称为 S 的未来 Cauchy 展开 (future Cauchy development) 或未来影响域 (future domain of dependence)， 通常记为 D+(S)。 D+(S) 的边界被称为未来 Cauchy 视界 (future Cauchy horizon)， 记为 H+(S)。 类似地， 我们也可以定义 S 的过去 Cauchy 展开 (或过去影响域) 和过去 Cauchy 视界， 分别记为 D-(S) 和 H-(S)。 S 的未来 Cauchy 展开与过去 Cauchy 展开合在一起 - 即 D+(S)∪D-(S) - 称为 S 的 Cauchy 展开 (或影响域)， 记为 D(S)。 一个时空 (或时空中的一个点集) M 中如果存在一个封闭非时序点集 S， 使得 M=D(S)， 则称为是全局双曲 (globally hyperbolic) 的， 相应的封闭非时序点集 S (可以证明它一定是一个超曲面) 被称为 Cauchy 面 (Cauchy surface)。 Cauchy 面可以被形象地理解为时空中对应于某一时刻的超曲面。 一个时空如果是全局双曲的， 我们就可以通过 Cauchy 面上的初始条件预言整个时空的演化， 因此时空的全局双曲是一种非常优良的因果性质。 1965 年， Penrose 正是在假设时空为全局双曲的基础上证明了最早的奇点定理。 但是， 时空的全局双曲是一个很强的假设， 要想证明现实时空满足这样的假设几乎是不可能的。 因此五年之后， Hawking 与 Penrose 放弃了这一假设， 在一组物理上更容易实现的假设的基础上重新证明了奇点定理。