在数的发展中一开始只有自然数，再进一步，则是复数的出现。然后动机就是在高斯成功的将复数转换成高斯平面以几何表示后能不能有一种数，可以在三维，或更高维度来表示。

但是当复数出现后，为什么只有2元数才会成立，又是哪些因素造成这种限制？或许，这些是值得我们去深思熟虑的…。

第一章 三元数为什么不存在

第一节 三元数被提出

Gauss将复数（ ）成功转移到高斯平面上，使复数得以用几何方法表示，并且满足“模法则”。

复数模法则：

令

在复数（ ）发展出来后，Hamilton提出了一个疑问：既然

有复数的存在，那是否会也会有一种数（ ）可在三维空间表示？但是， 经过了几次的证明后，最后却只发现了四元数，而未发现三元数的存在。

第二节 问题的出现及转机

为什么三元数会不存在呢？其实三元数，它已被定义为一个具有加减法、数乘运算的数。

加减法：

数乘运算：

但是，在定义三元数的乘法时，却遇到了不可逾越的障碍。例如：乘法不能满足“模法则”和普通运算定律（如交换律等）。而且无法明确的订出ij与ji的关系和其值。

（一） 模法则：

“模法则”的存在，否定了“三元数”。为什么呢？

假设三元数 ， 符合“模法则”则

但是勒让得的三数平方和定理，说明了只要是8n+7的数，都无法表示成三数的平方和。

当 =0（mod8）或1（mod8）或4（mod8），三个数的平方和可以是0（mod8）、1（mod8）、2（mod8）、3（mod8）、4（mod8）5（mod8）、6（mod8），因此无法是7（mod8)，所以当模相乘为8n+7时,找不到 满足“模法则”。

（二）ij与ji

A.令a+bi+cj包含复数子集，所以ii=-1等复数性质应保留=>jj=-1那么，ij与ji=？

假设ij=ji

=？

=？ (ij)(ij)=i(ji)j=i(ij)j=ij=(-1)(-1)=1 所以ij=1或ij=-1

当ij=1或 都无法满足“模法则”。

B. 利用 = ，取1、i、j的向量系数平方和发现： = ，因此假设ij=0。

但是i、j的模都是1，那么ij的模不可能是0，所以此假设是不合理的。

如果ij=-ji，ij=k但是k=？又是一颗大石头

- =

是k的模，又得知k同时与1、i、j互相垂直。因此证实了三元数的不存在，而且还推敲出了四元数。

第二章 八元数

Hamilton推出四元数后，他的一位好友格拉夫斯(Graves)及英国的数学家凯莱(Cayley)发现八元数。(因为Cayley的名气较高，后人即将八元数称为Cayley数)

我们知道，四元数是由复数的推广而来

其中R是实数系，C是复数系，H是四元数系，C是Cayley数

格拉夫斯(Graves)所发现满足“模法则”的八元数即：

此外，下图是格拉夫斯(Graves)所发现的八元数乘法公式（横行*竖行）：

那么，我们能不能再推广出2n元数呢？

哈密顿(Hamilton)创造了四元数、凯莱(Cayley)定义了八元数，它们都称之为”超复数”，如果我们忽略掉一些运算性质，如：交换律、结合律……等。超复数还可推广至十六元数、三十二元数。只是实用价值非常非常的低。

结论

三数平方和定理使三元数出现了定义上的问题，而之后ij的值，也为三元数带来一堆不可解决的问题。或许，三元数在一开始的想法就是错误的，也有可能他需要另一种数来（实数、虚数之外）代表ij。毕竟他唯一违反的运算定律只有在乘法上。

复数可推广至2元数，但是他的实用价值就相当的低了。以致于，后来在1880年，数学家提出了向量代数来取代了四元数及八元数等。