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词条 三角形外心
释义

定义

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心

三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上

三条中垂线共点证明

.

∵l、m为中垂线∴AF=BF=FC

所以BC中垂线必过F

三角形外心的性质

设⊿ABC的外接圆为☉G(R),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.

性质1:(1)锐角三角形的外心在三角形内;(2)直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合;

(3)钝角三角形的外心在圆心上.

性质2:∠BGC=2∠A,(或∠BGC=2(180°-∠A).

性质3:∠GAC+∠B=90°

证明:如图所示延长AG与圆交与P

∵A、C、B、P四点共圆

∴∠P=∠B

∵∠P+∠GAC=90°

∴∠GAC+∠B=90°

性质4:点G是平面ABC上一点,点P是平面ABC上任意一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件是:

(1)向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).

或(2)向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.

性质5:三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。

性质6:点G是平面ABC上一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件 (向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.

三角形外心的做法

分别作三角形两边的中垂线交点计作O以O为圆心OA为半径画圆

圆O即为所求

外心的求法

设三角形三边及其对角分别为a、b、c,∠A、∠B、∠C

正弦定理有r=a/(2sinA)=b/(2sinB)=c/(2sinC)

r=abc/(4S△ABC)

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更新时间:2024/12/23 22:20:12