原理

条件

应用实例

原理

“人船模型”，不仅是动量守恒问题中典型的物理模型，也是最重要的力学综合模型之一．对“人船模型”及其典型变形的研究，将直接影响着力学过程的发生，发展和变化，在将直接影响着力学过程的分析思路，通过类比和等效方法，可以使许多动量守恒问题的分析思路和解答步骤变得极为简捷。

条件

模型应用的条件：一个原来处于静止状态的系统，当系统中的物体间发生相对运动的过程中，有一个方向上动量守恒．

应用实例

1、“人船模型”

质量为M的船停在静止的水面上，船长为L，一质量为m的人，由船头走到船尾，若不计水的阻力，则整个过程人和船相对于水面移动

的距离？

分析：“人船模型”是由人和船两个物体构成的系统；该系统在人和船相互作用下各自运动，运动过程中该系统所受到的合外力为零；即人和船组成的系统在运动过程中总动量守恒。

解答：设人在运动过程中，人和船相对于水面的速度分别为v和u，则由动量守恒定律得：

mv=Mu

由于人在走动过程中任意时刻人和船的速度v和u均满足上述关系，所以运动过程中，人和船平均速度大小 也应满足相似的关系，即

mv=Mu

而v=x/t，u=y/t,所以上式可以转化为：

mx=My

又有，x+y=L,得：x=L,y=L

以上就是典型的“人船模型”，说明人和船相对于水面的位移只与人和船的质量有关，与运动情况无关。该模型适用的条件：一个原来处于静止状态的系统，且在系统发生相对运动的过程中，至少有一个方向(如水平方向或者竖直方向)动量守恒。

2、“人船模型”的变形

变形1：质量为M的气球下挂着长为L的绳梯，一质量为m的人站在绳梯的下端，人和气球静止在空中，现人从绳梯的下端往上爬到顶端时，人和气球相对于地面移动的距离？

分析：由于开始人和气球组成的系统静止在空中，竖直方向系统所受外力之和为零，即系统竖直方向系统总动量守恒。得：

mx=My

x+y=L

这与“人船模型”的结果一样。

变形2：如图所示，质量为M的 圆弧轨道静止于光滑水平面上，轨道半径为R，今把质量为m的小球自轨道左测最高处静止释放，小球滑至最低点时，求小球和轨道相对于地面各自滑行的距离？

分析：设小球和轨道相对于地面各自滑行的距离为x和y，将小球和轨道看成系统，该

系统在水平方向总动量守恒，由动量守恒定律得：

mx=My

x+y=L

这又是一个“人船模型”。

（1） 关于“人船模型”

典型的力学过程通常是典型的模型所参与和经历的，而参与和经历力学过程的模型所具备的特征，将直接影响着力学过程的发生，发展和变化，在将直接影响着力学过程的分析思路，在下列力学问题中我们将面临着一个典型的“人船模型”。

问题：如图—1所示，质量为M的小船长L，静止于水面，质量为m的人从船左端走到船右端，不计水对船的运动阻力，则这过程中船将移动多远？

分析思路： 1.分析“人船模型”运动过程中的受力特征，进而判断其动量守恒，得：

mυ=Mu

2.在上式两端同乘以时间，就可得到人，船相对于地面移动的距离S1和S2的关系为：

mS1=MS2

3.考虑到人、船相对运动通过的距离为L，于是得：

S1+S2=L

4由此即可解得人、船相对于地面移动的距离分别为 ：

S人=ML/(M+m) S船=mL/(M+M)

人船模型”的几种变例

①把“人船模型”变为“人车模型”。

变例1：如图—2所示，质量为M，长为L的平板小车静止于光滑水平面上，质量为m的人从车左端走到车右端的过程中，车将后退多远？

解答：变例1中的“人车模型”与“人船模型”本质相同，于是直接得： S2= L

②把水平方向的问题变为竖直方向。

变例2：如图—3所示，总质量为M的足球下端悬着质量为m的人而静止于高度为h的空中，欲使人能完全沿强着地，人下方的强至少应为多长？

解答：变例2中的h实际上是人相对于地的位移S1，而绳长则是人与气球的相对位移L，于是有： h= L

可解得绳长至少为： L= h

③把直线运动问题变为曲线运动.

变例3：如图—4所示，质量为M的物体静止于光滑水平面上，其上有一个半径为R的光滑半球形凹面轨道，今把质量为m的小球自轨道右测与球心等高处静止释放，求M向右运动的最大距离。

解答：变例3中小球做的是复杂的曲线运动，但只考虑其水平分运动，其模型例与“人船模型”相同，而此时的相对位移大小为2R，于是物体M沿水平而向右移动的最大距离为：

S2= ·2R

④把模型双方的质量比变为极端情况.

变例：如图—5所示，光滑水平杆上套有一个质量可忽略的小环，长L的强一端系在环上下，另一端连着质量为M的小球，今使小球与球等高且将绳拉直，当把小球由静止释放直到小球与环在同一竖直线上，试分析这一过程中小球沿水平方向的移动距离.

解答：变例4中环的质量取得某种极端的值： m→0

于是所求的小球沿水平方向移动的距离应为： S2= L→0