通俗定义

相关概念(整数部分 阶梯曲线)

性质

应用

通俗定义

设x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用"{x}"表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为取整函数，也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + {x}，其中{x}∈[0，+∞）称为小数部分函数。

相关概念

整数部分

设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分。记作〔x〕。

阶梯曲线

即取整函数的在定义域D=（-∞，+∞），值域Rf=Z的图形，在x为整数值处，图形发生跳跃，越度为1。

性质

性质1 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.

性质2 对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).

性质3 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].

性质4 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.

性质5 若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.

性质6 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x].

性质7 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.

性质8 设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为

p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+….

应用

取整函数与微积分有着紧密联系，它在科学和工程上有广泛应用。