函数奇偶性

定义

奇偶函数图像的特征

奇偶函数运算

误区警示

奇偶数

函数奇偶性

注图：（1）为奇函数（2）为偶函数

定义

对于任意x∈R，都有f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x).这时我们称函数f(x)=x^2为偶函数。

对于函数f(x)=x的定义域R内任意一个x，都有f(-x)=-f(x),这时我们称函数f(x)=x为奇函数。

一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。

变式：奇：f(x)+f(-x)=0 f(x)*f(-x)=-f^2(x) f(x)/f(-x)=-1

偶：f(x)-f(-x)=0 f(x)*f(-x)=f^2(x) f(x)/f(-x)=1

奇偶函数图像的特征

定理：奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴对称。

推论：如果对于任一个x,都有f(a+x)+f(b+x)=c，那么函数图像关于（a/2+b/2，c/2）中心对称；

如果对于任意一个x，有f(a+x)=f(a-x)，么函数图像关于x=a轴对称。

奇函数的图像关于原点对称

点（x,y）→（-x,-y）

偶函数的图像关于y轴对称

点（x,y）→（-x,y）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

奇偶函数运算

（1） 两个偶函数相加所得的和为偶函数。

（2） 两个奇函数相加所得的和为奇函数。

（3） 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。

（4） 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。

（5）一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。

（6）几个函数复合，只要有一个是偶函数，结果是偶函数；反之是奇函数。

（7）偶函数的和差积商是偶函数。

（8）奇函数的和差是奇函数。

（9）奇函数的偶数个积商是偶函数。

（10）奇函数的奇数个积商是奇函数。

误区警示

判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称。一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称。

奇偶数

一个数满足xmod2=1，那么它是奇数；

一个数满足xmod2=0，那么它是偶数。