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词条 平面角
释义

平面角由射线——点——射线构成,是从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形。

具体定义

平面角是以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角

或者从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角

1.二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大,我们就说个二面角是多少度的二面角。

2.二面角的平面角与点(或垂直平面)的位置无任何关系,只与二面角的张角大小有关。

三垂线法作二面角的平面角的技巧

求二面角的大小是考试中经常出现的问题,而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法,许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角,使得解题受阻.

我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法,其作图模型为:

如图1,在二面角-l-中,过平面内一点AAO⊥平面,垂足为O,过点OOBlB(过A点作AB⊥于B),连结AB(或OB),由三垂线定理(或逆定理)知ABl(或OBl),则∠ABO为二面角。—l—的平面角.

作图过程中,作出了两条垂线AOOB(或AB),后连结AB两点(或OB两点),这一过程可简记为“两垂一连”,其中AO为“第一垂线”.“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键,在具体解题过程中要注意以下几点:

1.善于利用图中已有的“第一垂线”

例1 已知斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BCA1在底面ABC的射影恰为AC的中点M,又知AA1与底面ABC所成的角为60°.

(1)求证:BC⊥平面AA1CC1;

(2)求二面角BAA1—C的大小.

剖析:注意该题的第(1)问,事实上本题已经暗示了BC就是我们要寻求的“第一垂线”.

略解2 A1A与底面AB成的角为60°,所以∠A1AC=60°,又MAC中点,所以△AA1C是正三角形,作CNAA1于N,点NA1A的中点,连结BN,由BC⊥平面AA1CC1,BNAA1,则∠BNC为二面角BAA1一C的平面角.设ACBCa,正△AA1C的边长为a,所以 ,在Rt△BNC中,tan∠BNC=,即 .

例2 如图3,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCDSA=AB=BC=1,AD

(1)求四棱锥SABCD的体积;

(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

剖析:由SA⊥面ABCD及∠ABC=90°,不难发现,BC即为“第一垂线”,但是,本题要作二面角的平面角,还需首先作出二面角的棱.

略解2 延长BACD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱,因为ADBCBC=2AD,所以EA=AB=SA,所以SESB,因为SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBCEB是交线,又BCEB,所以BC⊥面SEB,故SBCS在面SEB上的射影,所以CSSE,所以∠BSC是所求二面角的平面角,因为,BC=1,BCSB,因为tan∠BSC= ,即所求二面角的正切值为.

2.借助第三个平面,作“第一垂线”

例3 如图4,正三棱柱ABCA1B1C1的底边长为a,侧棱长为,若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面一边A1C1于点D

(1)确定点D的位置,并证明你的结论;

(2)求二面角A1—AB1—D的大小.

剖析:由线面平行的性质定理及三角形中位线性质,易知DA1C1中点.二面角A1—AB1一D的放置属于非常规位置的图形,但是,容易发现,平面A1B1C1过点D且与平面A1AB1垂直,这样的平面相对于二面角的两个平面而言,我们称为第三个平面.过DDFA1B1,由面面垂直的性质知,DF⊥面A1AB1,即DF为我们要作的“第一垂线”.

略解2 在平面A1B1C1内,作CFA1B1于F,连DC,由三垂线定理可证AB1⊥DG,∠DGF就是二面角A1—AB1一D的平面角,在正△A1B1C1中,因为DA1C1中点,A1B1=a,所以,,在Rt△DFG,可求得∠DCF=45°.

3.利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”

例4 已知:Rt△ABC的斜边BC在平面内,ABAC分别与平面。成30°和45°角,求平面与△ABC所在平面所成二面角的大小.

剖析:本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助,但是,我们注意到ABAC与平面所成的角均已给出,只要过AAO⊥于O,就可以同时找到ABAC在平面内的射影,无疑这样得到的“第一垂线"AO有着非常特殊的位置,有利于二面角大小的计算.

解:作AO⊥于OODBCD,连OBADOC,由三垂线定理得:ADBC,所以∠ADO是二面角ABCO的平面角,令AOx,在Rt△AOB中,∠ABO=30°,所以AB=2x,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,所以,因为∠BAC=90°,所以,所以。

在Rt△AOD中,,所以∠ADO=60°,所以三角形ABC与面成60°或120°的二面角.

立体几何中二面角的平面角的定位

空间图形的位置关系是立体几何的重要内容,解决立体几何问题的关键在于三定:定性分析→定位作图→定量计算,其中定性是定位、定量的基础,而宣则是定位、定性的深化,在面面关系中,二面角是其中的重要概念之一,它的度量归结为平面上角的度量,一般来说,对其平面角的定位是问题解决的先决一步,可是,从以往的教学中发现,学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱,甚至错误地定其位,使问题的解决徒劳无益,本文就是针对这一点,来谈一谈平日教学中体会。

一、 重温二面角的平面角的定义

如图(1),α、β是由ι出发的两个平面,O是ι上任意一点,OC

α,且OC⊥ι;CD β,且OD⊥ι。这就是二面角的平面角的环境背景,即∠COD是二面角α—ι—β的平面角,从中不难得到下列特征:

Ⅰ、过棱上任意一点,其平面角是唯一的;

Ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直;

另外,如果在OC上任取上一点A,作AB⊥OD垂足为B,那么

由特征Ⅱ可知AB⊥β.突出ι、OC、OD、AB,这便是另一特征;

Ⅲ、体现出一完整的垂线定理(或逆定理)的环境背景。

对以上特征进行剖析

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成,所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线(面)”的问题。

特征Ⅰ表明,其平面角的定位可先在棱上取一“点”,耐人寻味的是这一点可以随便取,但又总是不随便取定的,它必须与问题背景相互沟通,给计算提供方便。

例1 已知正三棱锥V—ABC侧棱长为a,高为b,求侧面与底面所成的角的大小。

由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心,所以连结CH交AB于O,且OC⊥AB,则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图(2)。正因为正三棱锥的特性,解决此问题,可以取AB的中点O为其平面角的顶点,而且使背景突出在面VOC上,给进一步定量创造得天独厚的条件。

特征Ⅱ指出,如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ与

α、β的交线,而交线所成的角就是α—ι—β的平面角,如图。

由此可见,二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

例2 矩形ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线BD把△ABD折起,

使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上,求二面角A—BC-—C的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题,解决问题的关键在

于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E,则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面,此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知,面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角,即为所求二面角的平面角。另外,A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上,又题设射影落在BC上,所以E点就是A′,这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上,AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5,OA′=OE=BO·tan∠CBD,而BO=AB2/BD=9/5, tan∠CBD,故OA′=27/20。在Rt△AA′O中,∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16,ty∠AOA′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。

通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算,特征Ⅱ从另一角度告诉我们:要确定二面角的平面角,我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”,然后,在棱上选取一适当的垂线段,即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉,不仅便于定性、定位,更利于定量。

特征Ⅲ显示,如果二面角α—ι—β的两个半平面之一,存在垂线段AB,那么过垂足B作ι的垂线交ι于O,连结AO,由三垂线定理可知OA⊥ι;或者由A作ι的垂线交ι于O,连结OB,由三垂线定理逆定理可知OB⊥ι,此时,∠AOB就是二面角α—ι—β的平面角,如图。

由此可见,地面角的平面角的定位可以找“垂线段”。

例3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,棱长为2,E为BC的中点。求面B1D1E与面积BB1C1C所成的二面角的大小。

例3的环境背景表明,面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角,

由特征Ⅱ可知,这两个二面角的大小必定互补,下面,如

果思维由特征Ⅲ监控,背景中的线段C1D1会使眼睛一亮,我们只须由C1(或D1)作B1E的垂线交B1E于O,然后连结OD1(或OC1),即得面D1BE与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1,如图,计算可得C1O=4*51/2/5。

在Rt△D1C1O中,tan∠C1OD=D1C1/C1O=51/2/2。

故所求的二面角角为arctan51/2/2或π-arctan=51/2/2

三个特征的关系

以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色,其标的是

分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上,我们只要找到其中一个,另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

1、 融合三个特征对思维的监控,可有效地克服、抑制思维的

消极作用,培养思维的广阔性和批判性。

例3 将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的

一个侧面吻合,则吻合后的几何呈现几个面?

这是一道竞赛题,考生答“7个面”的占99.9%,少数应服从多数吗?

如图,过两个几何体的高线VP、VQ的垂足P、Q分别作BC的垂线,则垂足重合于O,且O为BC的中点,OP延长过A,OQ延长交ED于R。由特征Ⅲ,∠AOR为二面角A—BC—R平面角,结合特征Ⅰ、Ⅱ,可得VAOR为平行四边形,VA//BE,所以V、A、B、E共面,同理V、A、C、D共面,所以这道题的答案应该是5个面!

2、 三个特征,虽然客观存在,互相联系,但在许多同题中却

表现得含糊而冷漠——三个“标的”均藏而不露,在这种形势下,逼你去作,那么作谁?

由特征Ⅲ,有了“垂线段”便可定位。

例4 已知Rt△ABC的两直角边AC=2,BC=3,P为斜边上一

点,沿CP将此直角三角形折成直二面角A—CP—B,当AB=71/2时,求二面角P—AC—B的大小。

作法一:∵A—CP—B为直角二面角,

∴过B作BD⊥CP交CP的延长线于D,则BD⊥DM APC。

∴过D作DE ⊥AC,垂足为E,连BE。

∴∠DEB为二面角A—CP—B的平面角。

作法二:过P点作PD′⊥PC交BC于D′,则PD′⊥面APC。

∴过D′作D′E′⊥AC,垂足为E′,边PE′,

∴∠D′E′P为二面角P—AC—B的平面角。

再说,定位是为了定理,求角的大小往往要化归到一个三角形中去解,有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。

由此可见,要作,最好考虑作“垂线段”。

综上所述,二面角其平面角的正确而合理的定位,要在正确其定义的基础上,掌握其三个基本特征,并灵活运用它们考察问题的环境背景,建立良好的主观心理空间和客观心理空间,以不变应万变。

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更新时间:2025/3/15 19:56:06