定义

欧拉线的证法1

欧拉线的证法2

欧拉线的证法3

应用

定义

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。

莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

如右图，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和欧拉圆圆心（红点）的一条直线。

注：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆，称为欧拉圆。

欧拉线的证法1

作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’

∵ BD是直径

∴ ∠BAD、∠BCD是直角

∴ AD⊥AB，DC⊥BC∵ CH⊥AB，AH⊥BC

∴ DA‖CH，DC‖AH

∴ 四边形ADCH是平行四边形

∴ AH=DC

∵ M是BC的中点，O是BD的中点

∴ OM= 1/2DC

∴ OM= 1/2AH

∵ OM‖AH

∴ △OMG’ ∽△HAG’

∴AG’/MG’=AH/MO=2/1

∴ G’是△ABC的重心

∴ G与G’重合

∴ O、G、H三点在同一条直线上

如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.

欧拉线的证法2

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。

联结OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。

联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF

联结FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。

欧拉线的证法3

利用向量证明，简单明了

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。

∵向量OH=向量OA+向量AH

=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………（1）

=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD

=向量OA+向量OB+向量OC；

而向量OG=向量OA+向量AG

=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）…………………………………………………（2）

=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]

=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.

∴向量OG=1/3向量OH，

∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。

应用

1 ： 平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。

证明：设5个点对应的向量分别是z1, z2, z3, z4, z5，且它们的模相等。

因为|z1|=|z2|，所以0, z1, z2, z1+z2这四个点构成一个菱形，所以它们的对角线垂直，所以垂直于z1、z2的连线就相当于平行于z1+z2。

这样经过三角形z3, z4, z5的重心，且垂直于z1, z2连线的直线方程就是

z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2)，其中t是任意实数。

取 t=1/3，就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在这直线上。同理可得这点在所有这类直线上。

2：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其垂心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。

3：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。

证明：第2，3个结论缘于以下事实：欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。