简介

定义

证明

简介

拿破仑·波拿巴（Napoléon Bonaparte，1769-1821)，大家应该非常熟悉，可是知道吗，他在数学上也颇有建树。

下面要说的拿破仑三角形，曾经令拉普拉斯敬佩不已。

定义

这个三角形是这样的：

在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。如图中的△DEF就是△ABC的外拿破仑三角形。

在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形，这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“内拿破仑三角形”。

证明

这里提供一种最简单的证明方法，只需初中的水平就可以理解了：

证明：

如图，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，

则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°

以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。

连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。

∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）

∴△ABF∽△BCD∽△ACE，

∴AF/AB = AE/AC = DC/BC

又∵AG=AF，GE=DC

∴AG/AB = AE/AC = GE/BC

∴△AGE∽△ABC

∴∠GAE=∠BAC

∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°

又∵AG=AF

∴△AGF为等边三角形

∴AG=AF，∠AGF=60°

∵△AGE∽△ABC

∴∠AGE=∠ABC

又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°

∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°

∴∠FBD=∠FGE

∵在△FBD和△FGE中，

FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE

∴△FBD≌△FGE(SAS)

∴FD=FE

同理，FD=DE

∵FD=DE=FE

∴△DEF为等边三角形

即“外拿破仑三角形”是等边三角形。（在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形）

证明“内拿破仑三角形”是等边三角形过程与此相同，有兴趣的话你也可以自己试试！