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词条 门格海绵
释义

定义

门格海绵是分形的一种。它是一个通用曲线,因为它的拓扑维数为一,且任何其它曲线或图都与门格海绵的某个子集同胚。它有时称为门格-谢尔宾斯基海绵或谢尔宾斯基海绵。它是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广。它首先由奥地利数学家卡尔·门格在1926年描述,当时他正在研究拓扑维数的概念。

结构

门格海绵的结构可以用以下方法形象化:从一个正方体开始。(第一个图像)

把正方体的每一个面分成9个正方形。这将把正方体分成27个小正方体,像魔方一样。

把每一面的中间的正方体去掉,把最中心的正方体也去掉,留下20个正方体(第二个图像)。

把每一个留下的小正方体都重复第1-3个步骤。

把以上的步骤重复无穷多次以后,得到的图形就是门格海绵。

性质

门格海绵的每一个面都是谢尔宾斯基地毯;同时,门格海绵与原先立体的任何一条对角线的交集都是康托尔集。

门格海绵是一个闭集;由于它也是有界的,根据海涅-博雷尔定理,它是一个紧集。更进一步,门格海绵是不可数集,且具有勒贝格测度0。

门格海绵的拓扑维数是一,与任何曲线一样。门格在1926年证明了,它是一个通用曲线,就是说任何一维曲线都与门格海绵的一个子集同胚,这里的曲线是指任何勒贝格覆盖维数为一的紧度量空间。

门格海绵的豪斯多夫维为(ln 20) / (ln 3)(大约2.726833)。

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更新时间:2024/12/23 21:20:45