简介

欧几里德算法缺陷

算法思想

算法步骤

两种算法的对比

C++/java 实现

Pascal实现

简介

Stein算法是一种计算两个数最大公约数的算法，它是针对欧几里德算法在对大整数进行运算时，需要试商导致增加运算时间的缺陷而提出的改进算法。

欧几里德算法缺陷

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来。

一般实际应用中的整数很少会超过64位（当然现在已经允许128位了），对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

算法思想

由J. Stein 1961年提出的Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法，为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。

gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。

算法步骤

1、如果A=0，B是最大公约数，算法结束

2、如果B=0，A是最大公约数，算法结束

3、设置A1=A、B1=B和C1=1

4、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)

5、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)

6、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)

7、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn

8、n加1，转1

两种算法的对比

欧几里德算法每次迭代中最恶劣的情况是，a=2b-1，这样，迭代后，r=b-1。如果a小于2^N，这样大约需要4N次迭代。而Stein算法，每次迭代后，显然AN+1BN+1≤ ANBN/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数，Stein算法将更有优势。

C++/java 实现

//c++/java stein 算法

int gcd(int a,int b)

{

if(a<b)

{

//arrange so that a>b

int temp = a;

a = b;

b=temp;

}

if(0==b)//the base case

return a;

if(a%2==0 && b%2 ==0)//a and b are even

return 2*gcd(a/2,b/2);

if(a%2==0)//only a is even

return gcd(a/2,b);

if(b%2==0)//only b is even

return gcd(a,b/2);

return gcd((a+b)/2,(a-b)/2);//a and b are odd

}

Pascal实现

function stein(a,b :longint):longint;

var

i :longint;

Begin

if a = 0 then exit(b);

if b = 0 then exit(a);

If (a mod 2 = 0) and (b mod 2 = 0) then exit(stein(a shr 1,b shr 1) shl 1);

If (a mod 2 = 0) then exit(stein(a shr 1,b));

If (b mod 2 = 0) then exit(stein(a,b shr 1));

if a < b then i := a else i := b;

Exit(stein(abs(a-b) shr 1,i));

End;