介绍

发现过程

间接证法

注解

介绍

1840年德国柏林数学家雷麦斯（G.Lehmus）在研究高深数学的休息间隙，看到欧氏几何的一个简单定理“等腰三角形两底角的内角平分线相等”，善于思考的他突然逆向思维，提出上述逆命题是否成立，雷麦斯一天、两天都没有证明出来，他坚信这个命题是真的，可却一筹莫展。

发现过程

他毫不掩饰地写信给巴黎一个大学当教授的朋友斯图姆（J.C.F.Sturm,1803-1855）,斯图姆不长于几何，也束手无策，并向周围老师介绍此题，希望得到求解，这个问题即便在今天，对于一个没有经验和借鉴的读者来说，仍然是一个不容易的“世界难题”，后来雷麦斯写信给当时著名的瑞士几何学家施坦纳（J.Steiner, 1796-1863），希望证明这个命题，施坦纳出手不凡，很快给出了第一个证明，引起世界强烈反响，这个定理被命名为“雷麦斯-施坦纳定理”。

间接证法

下面给出几个证明,首先给出一个间接证法：

继施坦纳之后，这一定理的丰富多彩的证明陆续发表，但大多是间接证法，直接证法难度颇大。一百多年来，吸引了许多数学家和数学爱好者。经过大家的努力，出现了许多构思巧妙的直接证法。下面给出德国数学家海塞（L.O.Hesse,1811~1874）的证法，供大家欣赏。

如图，已知 中，两底角和平分线BD=CE，求证：AB=AC。

注解

这个证明过程关于三角形全等的判定用到SSA,当然大家知道没有这个判定,但是在确定了两三角形同为锐角或同为钝角三角形时则可断定两者全等---方圆数学

另外很容易想到的思路是通过计算给证明：

设角A、B、C对边分别为a、b、c，则由角平分线定理(AE/EC=AB/BC)和余弦定理(分别在三角形BCA和BCE中计算角C的余弦相等)易得角平分线和三边关系：

BE^2=[ac(a+c)^2-acb^2 ]/(a+c)^2

CF^2=[ab(a+b)^2-abc^2 ]/(a+b)^2

由两者相等得等式并进一步因式分解可得：A*(b-c)=0，A为不等于零的因式。

(计算稍复杂，有兴趣读者自行证明，但明确包含(b-c)这样一个因式，按照这个方向去因式分解还是容易的）

从而b=c 为等腰三角形。