什么是悖论

悖论的特证

蚂蚁与橡皮绳悖论

推导过程

什么是悖论

悖论具体是指：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。

悖论当然是蕴涵着丰富的思想内容的。本文不准备详谈。对于悖论，最容易误解的原因就是望文生义。看到悖论这个名词里有一个“论”字，就以为悖论的形式就是一段言论或理论；或者认为悖论是一种推论（也即推理过程）；或者把把悖论当成推理结果的结论。其实不然。至于那种自以为是，一知半解，不懂装懂的人，胡乱地把乱七八糟自相矛盾的谬论当成是逻辑学中的悖论，那就不是误解的问题了。

悖论的特证

① 悖论是一个命题。

② 是被承认作为前提的一个真命题；

③ 以上述真命题为前提，进行正确的逻辑推理；

④ 结论是一个与前提互相矛盾的命题（理所当然也应该承认是一个真命题）。

蚂蚁与橡皮绳悖论

“蚂蚁与橡皮绳悖论”是一道让你的直觉经受考验的数学趣题．问题是这样的：一只蚂蚁沿着一条长100米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行．每过1秒钟，橡皮绳就拉长100米，比如 10秒后，橡皮绳就伸长为：100+10×100=1100米了．当然，这个问题是纯数学化的，既假定橡皮绳可任意拉长，并且拉伸是均匀的．蚂蚁也会不知疲倦地一直往前爬，在绳子均匀拉长时，蚂蚁的位置理所当然地相应均匀向前挪动．现在要问，如此下去，蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端？

也许你会认为，蚂蚁爬行的那点可怜的路程远远赶不上橡皮绳成万倍的不断拉长，只怕是离终点越来越远吧！但是千真万确，蚂蚁爬到了终点，奇怪吗？

推导过程

现在让我们看一下推导过程（只需懂得积分即可）

1、如果把橡皮筋然全长定为1，那么不管橡皮筋拉多长，都是1,拉长的结果是让蚂蚁的速度下降为原来的100/(100+100t)=1/(1+t)

2、蚂蚁的初速度是全长的0.01/（100）=1/10000-=0.0001,(按全长为1来定即走过全长的万分之一)

3蚂蚁在t时刻的速度是0.0001*(1/(1+t))=0.0001/(1+t)

4、则蚂蚁在微小的时间段dt内走过的路是 (0.0001/(1+t))dt

5、则蚂蚁从0时刻走到t时刻的路程为∫(0.0001/(1+t))dt

从0到t积分因为∫(0.0001/(1+t))dt=0.0001*ln(1+t)

所以蚂蚁走过的路程为 0.0001ln(1+t)-0.0001ln(1+0)=0.0001ln(1+t)

因为全长定为1，令上式=1 0.0001ln(1+t)=1

解这个方程 1+t=e^10000

t=(e^10000)-1=3.122*10^4343秒=1.0*10^4335年

此问题相当于调和级数求和。

我们今天发现的调和级数悖论则是芝诺悖论（阿基里斯追不上乌龟）的又一个很巧妙的翻版。

Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是：

1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)

r的值，约为0.577218。这个数字就是后来称作的欧拉常数。