概念

推导过程

理解

注意

应用

概念

洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。洛必达法则（定理）

设函数f(x)和F(x)满足下列条件：

（1）x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;

（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导，且F(x)的导数不等于0;

（3）x→a时，lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大

则 x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))

推导过程

由于条件皆满足，先令f(a)=F(a)=0。

再用柯西中值定理进一步证明。

详细阐述见图。

理解

（1）本定理所有条件中，对x→∞的情况，结论依然成立。

（2）本定理第一条件中，lim f(x)和lim F(x)的极限皆为∞时，结论依然成立。

（3）上述lim f(x)和lim F(x)的构型，可精练归纳为0/0、∞/∞；与此同时，下述构型也可用洛必达法则求极限，只需适当变型推导：0·∞、∞-∞、1的∞次方、∞的0次方、0的0次方。（上述构型中0表示无穷小，∞表示 无穷大。）

注意

（1）在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型构型，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。

（2）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

（3）洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。

（4）洛必达法则常用于求不定式极限。基本的不定式极限：0/0型；∞/∞型（x→∞或x→a），而其他的如0*∞型, ∞-∞型，以及1^∞型，∞^0型和0^0型等形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解。

应用

求极限是高等数学中最重要的内容之一,也是高等数学的基础部分,因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。

求极限的方法有很多,其中之一是用洛必达法则求解未定式“00”型与“∞∞”型，洛必达法则定理如果(1)lim(x→x0)(x→∞)f(x)=0(或∞),lim(x→x0)(x→∞)g(x)=0(或∞);(2)在点x0的某去心邻域内(或|x|>X),f′(x)及g′(x)都存在且g′(x)≠0;(3)lim(x→x0)(x→∞)f′(x)g′(x)存在(或为无穷大),那么有(lxi→mx0)(x→∞)f(x)g(x)=lim(x→x0)(x→∞)f′(x)g′(x)=A(A为有限值或无穷大).

用洛必达法则求极限的常见题型

求limx→0 tan x-xx2sinx.

解limx→0 tan x-xx2sinx=lxi→m0tanxx3-x·s ixnx=lxi→m0tanxx3-x=limx→0sec2x-13x2=lxi→m02sec26x·x tan x=3