设集合I=〔1,2，……n〕，I的任意子集合S都对应着一个是函数υ〔S〕，若满足：

υ〔∮〕=0

υ〔Si∪Sj〕≥υ〔Si〕+υ〔Sj〕，Si∩Sj=∮，Si、Sj∈I

则称[I,υ]为多人合作对策，υ为对策的特征函数。

我们用xi表示I中成员i从合作的最大效益υ〔I〕中获得的收入。在合作I的基础下，合作对策的分配用X=〔x1,x2,……xn〕表示。显然，该合作成立必须满足如下条件：

∑xi= υ〔I〕

xi ≥ υ〔i〕，i=1,2，……n

在Shapley值法中，联盟成员所得利益分配值成为Shapley值，通常记作Φ〔υ〕=（φ1〔υ〕，φ2〔υ〕，……φn〔υ〕），其中φi〔υ〕表示联盟中成员i的所得利益：

φi〔υ〕=∑[〔n-|S|〕!〕〔|S|-1〕!/n!](υ(S)-υ(S/i)) (连加范围是S∈Si)

其中Si表示包含I中成员i的所有子集，|S|表示S中成员的个数，υ(S/i)表示中除去后的联盟收益。

shapley值的推导过程

s为联合，v(s)为联合s的获利，x为利益的分配向量。

Si表示的是I的包含i的子集族。

shapley值公式的推导如下：

总联合收益v(I)可以看作是如下积累起来的：

从一个空联合s'=(此时收益为0)开始依次加入玩家1,2,3,...,n，则s'不断扩允。每加入一个玩家，它都给当前联合带来一个增益v(s'Ui)-v(s')，有：

即当所有玩家都加进来后，所有这些增益积累成v(I)，因此要将v(I)分配给n个人，可以按照他们的加入所带来的增益来分配，即给i分配利益v(s'Ui)-v(s')。

但这样做是有一个缺点，那就是这种分配方法与n个玩家的加入顺序有关，例如：

最初如果先加入玩家1,再加入玩家2，则

玩家1分得利益

玩家2分得利益

而如果先加入玩家2，再加入玩家1，则

可见不同加入顺序下的利益分配是有分歧的。

为了消除这种分歧，需要对所有可能顺序进行平均以得到xi的期望

xi

某一特定加入顺序出现的概率显然是.

所以

xi

=

=...(1)

此式已经可以直接用于计算，也可继续整理如下：

排列中i的增益只取决于i之前加入的玩家集合s'，即s'相同的排列具有相同的i增益。因此可将i的增益按不同的s'进行分类计算：

i前玩家集合为s'的排列有|s'|!(n-|s'|-1)!个，相应的i增益均为v(s'Ui)-v(s')。

所以所有排列的i增益和为.

于是(1)式变为：

xi

=

=

由于用s表示I中包含i的子集，则有s=s'Ui及|s|=|s'|+1，于是得

xi=

即shapley公式：

xi=