sangaku

介绍

例题:

sangaku

在几百年前的日本，人们定期用猪牛等牲口祭祀天神，以表达对上天恩赐的感谢。但这种祭祀方式花费很大，于是日本人想到在木板上刻画牲口的图案，然后挂在寺庙里祭祀上天。有一天，一位日本武士开始设想：除了猪牛羊马以外，我们还可以在木板上画点其它东西。他开始画一些原创的、美观的、有新意的图案献给天神。他用数学来祭祀，向上天表示自己的聪明才智。

人们陆续在日本的寺院里发现了数百个这样的木板，上面写有各种几何问题和定理。后人把这些刻有数学问题的木板叫做Sangaku。木板上的文字大都是古代汉字，这些文字多是对图案的描述，不过现在已经很难理解了。一位叫做Hidetoshi Fukagawa的日本数学教师一直致力于搜寻、翻译和研究Sangaku。最近，Fukagawa和Princeton大学的Tony Rothman合作完成了一本叫做Sacred Mathematics的书，书里详细介绍了Sangaku的完整历史，还有不少的Sangaku照片第一次走出了日本。

介绍

<IMG alt="" src="http://www.matrix67.com/blogimage/200804102.gif">

上图就是一个比较典型的Sangaku。画一个圆，随便做出一个内接多边形。从某个顶点出发，沿对角线将这个多边形剖分为三角形，作出每个三角形的内切圆。那么，所有内切圆的半径之和是一个常数，也就是说内切圆的半径之和的大小与你最初选的是哪一个顶点无关。

绝大多数Sangaku仅仅给出了定理的描述和对应的图形，但没有给出任何证明。很多著名的Sangaku现在已经获解或得证，但仍然有一些Sangaku至今仍未解决。一个著名的Sangaku问题需要人们求解一个1024次方程。虽然不久之后有数学家把问题简化到10次方程，但次数仍然太高，人们至今还不知道应该怎样求解。

大概从去年10月份开始吧，cut-the-knot介绍了大量的Sangaku问题。我从里面挑了两个自己认为好玩的放在下面和大家分享一下。

<IMG alt="" src="http://www.matrix67.com/blogimage/200804103.gif">

例题:

如图

圆C与圆A、圆B及等腰三角形T的一边均相切。

求证：CH垂直于AB

<IMG src="http://ww123.net/baby/attachment.php?aid=79880&nothumb=yes">

解:

首先小圆与Triangle-DCB的焦点为T,

大圆圆心O1,半径R;

中圆圆心O2;半径R1;

中圆圆心O;半径R2;

由于C的位置 完全取决于R2/R1;

只需证明if OC perpendicular to AB, then CD=DB(即OC存在几何的唯一性，如果R/R1已确定）

then, OC^2=(R1+R2)^2-R1^2;

作TT'垂直AB于T'

=>CT^2=OC*TT'=OC^2-OT^2=2R1*R2

=>CT=(2R1*R2)^1/2

=>Cos[DCB]=Cos[TOC]=( (2R1*R2+R2^2)/(2R1*R2) )^1/2=Cos[t]

CB=R-2R1

{ DB^2=CD^2+CB^2-2Cos[t]*CD*CB

{ CD^2+ O1C^2 -2Cos[t]*CD*O1C=O1D^2=R^2

O1C=2R1-R } }

=>CD=(R-2R1)*(2R1*R2)/2(2R1*R2+R2^2)=CB/2Cos[t]

=>DB=CD