举例

规律

定理

举例

我们知道（a+b）^2＝a^2+2ab+b^2,(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。现在把问题推广到一般形式,即展开两项式(a+b)^n(n为正整数)。

先来考察这样几个式子：

(a+b1)(a+b2)=a^2+(b1+b2)a+b1b2

(a+b1)(a+b2)(a+b3)=a^3+(b1+b2+b3)a^2+(b1b2+b2b3+b1b3)a+b1b2b3

(a+b1)(a+b2)(a+b3)(a+b4)=a^4+(b1+b2+b3+b4)a^3+(b1b2+b1b3+b1b4+b2b3+b2b4+b3b4)a^2+ (b1b2b3+b1b2b4+b1b3b4+b2b3b4)a+b1b2b3b4

…………

规律

按照这种规律，容易推出一般情况：

(a+b1)(a+b2)(a+b3)……(a+bn)=a^n+(b1+b2+b3+……+bn)a^(n-1)+(b1b2+b1b3+……＋b1bn+b2b3+……b2bn+……＋bn-1bn)a^(n-2)+……＋(b2b3……bn+b1b3……bn+……+b1b2b3……bn-1)a+b1b2b3……bn

用语言表述一下就是从b1,b2,b3,……，bn这n个元素中分别取0，1，2，3，……，n进行组合并把各种组合中各各元素相乘然后求和分别作为a^n,a^(n-1),a^(n-2),……，a各项的系数和常数项的多项式。

现在令b1=b2=b3=……=bn=b,此时代入刚才导出的公式中可以看出括号中的结果分别是b,b^2,b^3,……，b^n并分别拥有一个固定的常数作为系数。根据规律容易知道这一常数分别等于从b1,b2,b3,……，bn这n个元素中分别取0，1，2，3，……，n进行组合的组合数，即成为: C0n,C1n,C2n,……，Cnn。到这里，两项式(a+b)^n的问题就被解决了，我们可以归纳整理出两项式定理：

定理

两项式(a+b)^n(n为正整数)的展开式为：

(a+b)^n=a^n+C1nba^(n-1)+C2nb^2a^(n-2)+……＋Cknb^ka^(n-k)+……+Cn-1nb^(n-1)a+b^n

其中Ckn=n(n-1)(n-2)……（n-k+1)/k!为组合数公式。

把各项系数对比一下杨辉三角形，应该都是对应的。