第n个立方数指可以写成n³的数，当中n必为整数。立方数是边长n的立方体的体积。作为算术用语的“立方”，表示任何数n的三次幂，可用³（Unicode字符179，ait+小键盘179）来表示

立方数与杨辉三角

立方数与连续奇数和

几种立方数

立方数的其他

立方数和的一些问题

立方数与杨辉三角

毕达哥拉斯把立方数摆成一种“馨折形”的数。他先在正方形格子里放上石子，放的方法是最上面一行和最左边一列都按1、2、3、……来放石子。其他空格中的石子数，等于对应的最上面一行和最左边一列两格石子数的积。然后把正方形格分割成若干个拐角形，这种拐角形就叫“馨折形”。

他发现，每一个馨折形中所有数的和一定是一个立方数：

1^3=1

2^3=2+4+2

3^3=3+6+9+6+3

......

上面整理得：

1^3=1*1;

2^3=2*(1+2+1);

3^3=3*(1+2+3+2+1);

4^3=4*(1+2+3+4+3+2+1);

............

n^3=n*(1+2+3+4+...+n+1+2+3+4+...+(n-1));

立方数与连续奇数和

1^3=1

2^3=3+5

3^3=7+9+11

4^3=13+15+17+19

8^3=57+59+61+63+65+67+69+71

上面整理得：

1^2=1; +0*1

2^2=1+3; +1*2

3^2=1+3+5; +2*3

4^2=1+3+5+7; +3*4

............

n^2=1+3+5+7+...+(2n-1) +(n-1)n

几种立方数

... 完美立方数

如果一个立方数等于三个立方数之和，那么它们组成的系统就是完美立方数

譬如下面的第二行

3^2+4^2=5^2

3^3+4^3+5^3=6^3

2^4+2^4+3^4+4^4+4^4=5^4

4^5+5^5+6^5+7^5+9^5+11^5=12^5

...半立方数

半立方数为一个立方数的一半。

譬如6^3=216 半立方=108

...奇怪的完全立方数36

一个整数恰好是另一个整数的立方，我们称这个整数为完全立方数

6的3次方的表面积也是216，绝无仅有；

3的3次方×4的3次方×5的3次方=6的3次方（乘积为216000）

1+2+3+4+5+6+7+8=36；

...费玛与立方数

两个立方数的和不可能为一立方数；

宇宙只存在一个数26,他是夹在一个平方数[25是5的平方]与一个立方数中间[27是3的立方]；

...立方质数

立方质数的定义为(x^3-y^3)/(x-y)，其中x=y+1或x=y+2

立方数的其他

五角数中仅有立方数1

和平方数不同，立方数可存在负数。

首几个正立方数为：1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728 ...

虽然形状不同，每个立方数第n个立方数同时都是第n个六角锥数，即首n个中心六边形数之和。

首n个正立方数之和为((n + 1)n / 2)2，即第n个三角形数的平方。

每个整数均可表示成9个或以下的正立方数之和。（华林问题）

1939年，狄克森证明只有23和239须用9个正立方数。

亚瑟·韦伊费列治证明只有15个整数须用8个：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454

的士数和士的数都指最小能表示成两个立方数之和的正整数，但的士数表示两个正立方数之和，士的数表示两个正立方数或一正一负的两个立方数之和。

只有一组连续三个立方数之和亦是立方数，就是3, 4, 5的立方，其和等于6的立方。

在十进制，除了1之外，仅有4个的正整数其数字立方之和等同它本身，它们为153, 370, 371, 407，他们是n = 3的自恋数。这4个三位数，亦可视为将它的数字分成三份，每份的立方之和，相似性质的整数有无限个，如165033, 221859, 336700等

立方数和的一些问题

1. 方程3=x^3+y^3+z^3除了有4组解（1,1,1）；（4,4，-5）；（4，-5,4）；（-5,4,4）以外，是否还有其它整数解？

2. 方程30=x^3+y^3+z^3是否有整数解？

但方程3=x^3+y^3+z^3存在无穷多组有理解，表达为：x=3-p^2/qr，y=3-q^2/pr，z=3-r^2/pq；其中p,q,r为非零整数，且p+q+r=0