黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。

人物简介

猜想简介

等价定理

黎曼ζ 函数

研究成果

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人物简介

黎曼(Riemann，George Friedrich Bernhard，1826-1866,德国数学家)是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了GAUSS的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和 theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。

黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。

猜想简介

黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。也即方程ζ(s)的非平凡零点的实部都是0.5。

在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。

等价定理

1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理等价。

黎曼ζ 函数

黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。

黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数)

ζ(s) = ∑n n^-s (Re(s) > 1)

在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓 (当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：

这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是黎曼ζ 函数的完整定义。

运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式：

ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)

从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零[注三]。 复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是黎曼ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对黎曼ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。

研究成果

荷兰三位数学家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。

1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。

1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No（T）>0.3474N（T）。

1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No（T）>0.35N（T）。

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2000年5月24日，美国克雷数学研究所公布了7个千禧数学问题，每个问题的奖金均为100万美元，其中就有黎曼假设，而且它被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。而且黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题，即有名的希尔伯特问题．其中第8问题中也有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。