| 词条 | 罗素逻辑派 |
| 释义 | § 详细 弗雷格成功地用逻辑概念定义了自然数，罗素独立于弗雷格也获得了相同的结果。这种方法的关键在于，自然数不是属于事物而是属于概念的逻辑属性（按罗素的定义，数是某一个类的数，而一个类的数是所有与之相似的类的类）。其他种类的数——正数、负数、分数、实数和复数，不是用通常增加自然数的定义域的方法来完成的而是通过构造一种全新的定义域来实现的。罗素在将数的概念向前推广时，认为自然数并不构成分数的子集，自然数3与分数3／1不是等同的，同样分数1／2同与它相联系的实数也不是等同的。关于正负整数，罗素认为，+1与-1是关系，并且互为逆关系。+1是n+1对n的关系，-1是n对n+1的关系。一般地，如果m是任何归纳数，对任何n而言，+m是n+m对n的关系，-m是n对n+m的关系。+m与m不同，因为m不是一个关系，而是许多类的一个类。m/n定义为,当xn=ym时，二归纳数x和y之间的一个关系。m/1是x,y在x=my情形下所具有的关系。这个关系如同关系+m一样决不能和m等同，因为关系和一个类的类是完全不同的两个东西。罗素说，在实用上，只要我们了解分数1／1和基数1并不相同，就不必常常拘泥于这个区别。正负分数可以用类似于正负整数的方法而定义。实数的定义比较复杂一点。罗素发展了戴德金的实数论，作出了实数的定义。首先定义分数之间的大于或小于关系。给定两个分数m/n和p/q,如果mq小于pn，则m/n小于 p/q。这样定义的小于关系是序列关系，因而分数形成以大小为序的序列。戴德金证明了，有理数以明显的方式与分数相对应，无理数对应于分数序列的“间隙”。例如，把正分数分成两类：所有平方小于2的分数组成一类；其余分数组成另一类。这种分法就形成分数序列的一个“分割”，它对应于无理数√2。因为不存在其平方等于2的分数，所以第一类（“下类”即较小的一类）不包含最大的元素，第二类（“上类”即较大的一类）不包含最小的元素。因此，每一个实数都对应与分数序列的一个分割，分割中的间隙对应于无理数。 这样，罗素把实数定义为：分数序列中相应分割的下类。例如，√2是其平方小于2的那些分数的类；1／3是所有小于1／3的分数的类。由这些定义，整个实数算术都可以导出。这里，实数的定义是“构造的”。一个复数可以简单地看成是有先后次序的一对实数。 构造主义的方法是逻辑主义的一个重要部分。逻辑主义者用类似于定义实数的方法引进其余的数学概念。例如，分析中的收敛、极限、连续性、微分、微商和积分等概念，集合论中的超穷基数、序数等概念。 罗素在推导数学的过程中发现，除逻辑公理外，还需要逻辑公理之外的一些特殊公理，即无穷公理和乘法公理（选择公理）。无穷公理是说，若n是一个归纳基数，则至少有一个类有n个个体。由此得到：如果n是一个归纳基数，并且至少有一个类有n个分子，那么n不等于n+1。无穷公理保证了确有一些类有n个分子，于是我们才能断定n不等于n+1。没有这个公理，可能n和n+1都是空类。乘法公理是说，对于不相交的非空集合所组成的每个集合至少存在一个选择集合，也就是说这个集合与每一个集合恰好有一个共同元素。 在推导数学的过程中，罗素人为地假定了一条可化归性公理，这与逻辑类型论有关。 二、逻辑类型论 为了解决悖论，实现逻辑主义论题，罗素提出了逻辑类型论。罗素最早提出类型论是在1903年出版的《数学的原则》（The Principles of Mathematics）一书中，在1908年的论文《以类型论为基础的数理逻辑》和1910～1913年与怀特海合著的《数学原理》中全面系统地论述了逻辑类型论。逻辑类型论分两部分：简单类型论和分支类型论。简单类型论同分支类型论是结合在一起的，但又具有独立性并与下面将要说到的恶性循环原则无关。 |
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