| 词条 | 牟合方盖 |
| 释义 | § § 古代解释 中国的数学典籍《九章算术》的「少广」章的廿三及廿四两问中有所谓「开立圆术」，「立圆」的意思是「球体」，古称「丸」，而「开立圆术」即求已知体积的球体的直径的方法。其中廿四问为： 「又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？ 开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。」 从中可知，在《九章算术》内由球体体积求球体直径，是把球体体积先乘16再除以9，然後再把得数开立方根求出，换言之 球体体积＝(9 x 直径3)/16 以现代的理解，这公式当然是错的，但以古时而言也不失为一个简单的公式来求出近似值。 当然这个结果对数学家而言是极之不满的，其中为《九章算术》作注的古代中国数学家刘徽便对这公式有所怀疑： 「以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多。互相通补，是以九与十六之率，偶与实相近，而丸犹伤多耳。」 即是说，用π≒3来计算圆面积时，则较实际面积要少；若按π：4的比率来计算球和外切直圆柱的体积时，则球的体积又较实际多了一些。然而可以互相通补，但按9：16的比率来计算球和外切立方体体积时，则球的体积较实际多一些。因此，刘徽创造了一个独特的立体几何图形，而希望用这个图形以求出球体体积公式，称之为「牟合方盖」。 所谓「牟合方盖」是当一正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对「牟合方盖」有以下的描述： 「取立方八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又復横规之，则其形有似牟合方盖矣。八皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。丸其中，即圆率也。」 其实刘徽是希望构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接於球体在同一高度的横切面的圆形，而这个图形就是「牟合方盖」，因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π：4，他希望可以用「牟合方盖」来证实《九章算术》的公式有错误。当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式，因为他知道「牟合方盖」的体积跟内接球体体积的比为4：3，只要有方法找出「牟合方盖」的体积便可，可惜，刘徽始终不能解决，他只可以指出解决方法是计算出「外」的体积，但由於「外」的形状复杂，所以没有成功，无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法： 「观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。」 而贤能之士要在刘徽後二百多年才出现，便是中国伟大数学家袓沖之及他的儿子祖，他们承袭了刘徽的想法，利用「牟合方盖」彻底地解决了球体体积公式的问题。 祖沖之父子主要是发现到三个「外」的计算方法。他们先考虑一个由八个边长为r的正立方体组成的大正立方体，然後用制作「牟合方盖」的方法把这大正立方体分割，再取其中一个小正立方体部分作分析，分割的结果将跟右图所示的相同，白色部分称为「小牟合方盖」，它的体积为「牟合方盖」的八分之一，而紫红、黄和青色的部分便是三个「外」。 祖沖之父子考虑这个小立方体的横切面。设由小立方体的底至横切面高度为h，三个「外」的横切面面积的总和为S及小牟合方盖的横切面边长为a，因此根据「勾股定理」有 a2＝r2-h2 另外，因为 S＝r2-a2 所以 S＝r2-(r2-h2)＝h2 於所有的h来说，这个结果也是不变的。祖氏父子便由此出发，他们取一个底方每边之长和高都等於r的方锥，倒过来立著，与三个「外」的体积的和进行比较。设由方锥顶点至方锥截面的高度为h，不难发现对於任何的h，方锥截面面积也必为h2。换句话说，虽然方锥跟三个「外」的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了，所以祖氏云： 「缘幂势既同，则积不容异。」 所以 外体积之和＝方锥体积＝小立方体体积/3＝r3/3 即 小牟合方盖体积＝ 2r3/3 牟合方盖体积＝16r3/3 因此 球体体积＝(π/4)(16r3/3)＝4πr3/3 这条公式也就是正正式式的球体体积公式。 这球体体积公式比欧洲阿基米德的，虽然是迟了出现，但由方法以至推导也是由刘徽及祖氏父子自行创出，也可算是一项杰出的成就。当中用了「缘幂势既同，则积不容异。」即「等高处截面面积相等，则二立体的体积相等。」的定理，现在一般认为是由意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）首先引用，称为卡瓦列利原理（Principle of Cavalieri），但事实上祖氏父子比他早一千年就用到这个原理，所以称之为「祖氏原理」可能会较适合。 |
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