| 词条 | 狄奥芬塔斯 |
| 释义 | § 理论评价 没人知道他为什么会无视那另一个根，这个舍弃过程是神秘的，就好像一个简单的心理测试：“立刻说出心中的那个数！” 人们认为狄奥芬塔斯解题的思路毫无规律可循，汉科尔说：“对于现代人来说，学习了他的100个方程以后，也仍然难得解出第101个方程……”。 而按照通用的规律解法，对一个有二根的方程，我们一定会同时得到这两个根，但只在最后一刻，我们才站在这分岔路口，得出结果之前，我们的道路是惟一的——到达这二根的路线是重合的——而不需计算两遍——像双头蛇的头一样，两个根到最后关头才裂开。 但由于狄奥芬塔斯个人思路的怪异，这两条路径竟然没有重合，在求一个根的时候，他没有遇到另一个。这种孤独是个奇迹。犹如一个莽撞的瞎子横穿街道却一直没有遭遇车祸，或是在熙熙攘攘的朝圣路上梦游般地踽踽独行。 该算法中的神性是我无法谈论的，我不算懂数学，我只从外部谈论它。以我的个人经验：如果我在做一个明显有多解的数学题时只得出一个值，那一定是出了问题——我会立刻仔细检查，看是从哪个环节开始丧失了这种丰富性。 斯科特在《数学史》中说：“欧几里德所认识到的惟一的圆锥体乃是直圆锥体”。所以欧几里德毕生只研究了圆锥体中的一种特殊情况，而由于他一辈子都没检查出这一缺陷，这一缺陷也成了他的圆锥曲线几何学的“不良基础”。 虽然对欧几里德来说，“直圆锥体”的确是具备普遍意义的，因为他对圆锥体的印象其实就是“直圆锥体”，这是偏狭的成见——对自然界来说，“直圆锥体”是没有特权的，仅仅更美些，仅仅只是一个方程众多根中的一个。 不过欧几里德的支持者一直想使这种“个体研究”变为真正的知识—— “知识”的重要特性是“必须对他人多少有点参考价值”，像自传一样，不该只有特殊经历的炫耀，更要于细微处呈现人类的共性——在这个问题上我坚持“一元论”，即能从个体生活推导出其他一切生活，而非在求一个根时看不见另一个。一元论把世界看成一本大书，而不是一堆中断的小书。这也为《我们仨》这类“私人化”作品的公共价值以及欧几里德明显“以偏盖全”的研究提供了辩护。 欧几里德学说的参考价值也许在于，只要把所有圆锥体都看成“有误差”的直圆锥体就有可能利用它来解决普遍问题。而高中我学到，三角函数运算的基础就是假定特殊角的函数值已知。在生活的集合中，既然只有“自我”这种特殊项是已知的，那么不妨让一切向它靠齐，“自我”总是想象的起点。 无论如何，与狄奥芬塔斯对方程根的直觉一样，欧几里德研究的出发点也只是错觉——数学研究中的某些内容的确起于古代数学家一时蒙昧的“自我成见”：比如对某一个特定的方程，狄奥芬塔斯心中抱定它只有一个确定值的念头，又比如，欧几里德只知道一种圆锥体——这也好比是相信，“自然界只有正整数”。 这的确是某些民族数学研究开端时迅速确立过而又被很快推翻掉的“定理”。作为一种临时的谬误，这样的错觉启动了古代数学研究。 不过错觉并非是错误，它只不过不是本质罢了——它只不过是我们最明显可感的东西－－与其他知识一样，数学研究的起点也并不是数学的起点，而是日常生活最直接、最自然的印象。 对古希腊人来说，几何似乎比代数更接近自然的印象，希腊人先在自然中找到几何图形以及立方体，然后再试图用算术来建立几何学的模型。古希腊数学的起点是为明显可感知的几何形态进行尺规作图的工作。 而古罗马代数学的起点是人口统计——因此，据说它拒绝运用小数这一概念。 对许多民族的数学史来说，小数都没有成为研究的起点，小数是“不自然的”，它显示自然被人为地“分割”了，开始时人们尽力回避它，直到开方运算的出现……正是小数打开了“无穷小”这种诡辩的潘多拉之盒，它将基本单位分割了，因此，芝诺的乌龟永远也爬不到，因为路途被无限分割了。 古希腊人希望路途没有中点——一切旅行的研究对“半路上会发生什么”都应忽略不计，小数以及分数都是虚构的，自然应被“整除”——前智者学派时期的整个古希腊知识界都只是在塑造美的模型，而非解释自然，而对他们来说，“除不尽”、“求方根产生了无理数”等数学现象以及不规则的几何体都象征着破坏。 而就我小时候的体验，当小数的概念在我心目中确立后，我就把一切整数都看成是除法蹂躏后的结果，再也没有不带创伤的数了。 在我接受小数之前，我甚至没想到要关心一下一个整数的内部会发生什么——人看起来无法到达一个数的内部，人只是从一个整数跳到下一个整数，正如牛顿是如此形容“极限”有多难捕捉的：“当物体还没有到达这个地点时其速度不是最终速度，而当它已经到达时，又什么都没有了……” 这就好比乘火箭上班，你永远也无法停在想停的地方。你总是走过了。 这时候我仍要重提弗兰克·克默德在那本小册子《结尾的意义》中的精彩发现：世界上的故事大都是从中间讲起的，科学研究也是如此，科学研究也是从中间开始，而不是从科学真正结构上的起点开始。 我们从表象出发，向两个方向拓展研究。一是继续将故事发展下去；一是追溯故事的起源。 数学研究从正整数以及简单几何概念出发，在一个方向上进行渐趋复杂的构造：从整数到分数，实数，复数；从加法和乘法到微分和积分，一直到更高深的结构；另一方面，是“由分析我们所暂时肯定的基本概念和命题，而进入愈来愈高的抽象和逻辑的单纯。” “追溯”比“发展”的研究更难把握，后者实际上是一种轻率的行为，因此要流畅得多：公式的繁衍，更复杂的计算以及数学在物理学、经济学、社会学等其他领域中放肆地运用……数学给人印象中的世俗丰富性也多表现于此。相比之下，追溯过程，或者说怀疑的过程——也即“数理哲学”，是举步维艰的，到头来你几乎不敢进行最简单的计算，与之相媲美的还有维特根斯坦在语言方面的研究，它几乎让人再也不敢开口说话 |
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