| 词条 | 弗雷德霍姆积分方程 |
| 释义 | § 弗雷德霍姆积分方程 § 正文 形如 1 (1) 和 2 (2) 的积分方程，依次称为第一种弗雷德霍姆积分方程和第二种弗雷德霍姆积分方程，其中λ 是参数，φ(x)是未知函数，核K(x，y)和自由项 ƒ(x)是预先给定的函数。通常假设 K(x，y)属于平方绝对可积函数类，记,B是非负数。当ƒ(x)恒为零时,称为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。 逐次逼近法及解核 第二种弗雷德霍姆积分方程的最简便的一种解法是逐次逼近法，即按递推公式 给出方程(2)的n+1次近似解 ，这里Km(x,y)表示K(x,y)的m次叠核，即 易知， ，这里l可取为小于m的任何自然数。当｜λ｜<B-1时,近似解序列{φn(x)}在【α,b】上是一致收敛的,其极限φ(x)就是方程(2)的解。 若级数一致收敛，记之为Γ(x,y;λ)，则Γ(x,y；λ)同时满足下面两个方程： , (3) , (4)对于某值λ，若有平方绝对可积函数Γ(x，y；λ)同时适合方程(3)、(4),则称Γ(x,y；λ)为解核。这时方程(2)对任意的自由项ƒ(x)有惟一解，它可表为 , (5)反之亦然。 对于解核不存在的值 λ，称为特征值。否则，称为正则值。当且仅当λ是特征值时，对应的齐次方程 (6)才有非零解。非零解φ(x)称为对应于λ的特征函数。 弗雷德霍姆方法 E.I.弗雷德霍姆给出了一般情形的解核构造法。设 K(x,y)是有界核,即│K(x,y)│<M（M 是实常数），记 , (7) , (8)式中 。应用阿达马引理可估计,从而推知级数(7)、(8)对于一切复值 λ是绝对一致收敛的，因此，D(λ)、D(x，y；λ)都是关于λ的整函数，并分别称为弗雷德霍姆行列式和弗雷德霍姆一阶子式。可以证明，解核可表为Г(x,y；λ)=D(x，y；λ)/D(λ)。这表明解核是λ的半纯函数。同时，解核的极点都是 D(λ)的零点，也都是齐次方程(6)的特征值。反之亦然。 弗雷德霍姆定理 弗雷德霍姆对于第二种积分方程的研究，可归结为如下的四个定理，总称为弗雷德霍姆定理。它是弗雷德霍姆积分方程理论的基础。 第一定理 在λ复平面的任意有限区域内，方程(2)至多只有有限个特征值。 第二定理 每个特征值λ至少对应于一个特征函数，且所对应的线性无关的特征函数的个数是有限的。这个有限数称为λ的秩。 第三定理 设λ是核K(x,y)的特征值，则 憳是共轭核 的特征值。齐次方程 (6)与其共轭齐次方程具有相同的秩。 第四定理 若λ是核K(x，y)的特征值，则非齐次方程(2)可解的充分必要条件为：方程(2)的自由项ƒ(x)与其共轭齐次方程的所有线性无关解ψi(x)正交，即 ，式中r是λ的秩。 因此，非齐次方程(2)，或者对任意自由项可解,或者相应的齐次方程有非零解。这一结论通常称为弗雷德霍姆备择定理。 对于第一种弗雷德霍姆积分方程，若φ(x)是它的解，又有非零的任意函数ψ(x)使得，则φ(x)+ψ(x)也是它的解。E.施密特对方程(1)的特征值和特征函数给出了如下的定义：若对于某实数 λ存在非零的函数φ(x)和ψ(x)，满足方程组 , ,则称λ是方程(1)的特征值，而【φ (x),ψ(x)】称为对应于λ的相伴特征函数对。易知,φ(x)和ψ(x)又分别为下面的第二种弗雷德霍姆积分方程的特征函数： ，式中 ； ，式中 。而K壟（x,y）(i=1,2)都是对称正核，故λ是实数，不妨认为λ > 0。方程（1）一定存在一组正特征值{λi}和对应的正交标准的相伴特征函数对{φi(x)，ψi(x)}。有时也称之为奇值和奇值函数序列。应用它可类似地建立展开定理。施密特指出,方程（1）可解的必要条件是级数式中ƒi=(ƒ，φ)。以后，(C.-)É.皮卡进而证明，在正交标准特征函数系{φi(x)}是完备的情形,这条件也是充分的。此即所谓施密特－皮卡定理。 对于第一种弗雷德霍姆积分方程的研究，近代有了新的进展，并提供了一些有效的解法，但至今还未建立起系统的理论。 § 配图 § 相关连接 |
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