| 词条 | 庞加莱猜想 |
| 释义 | § 简介 庞加莱猜想电脑三维模型 在1904年发表的一组论文中，庞加莱提出以下猜想：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。 上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是单连通的，而轮胎面不是。 该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对庞加莱猜想的証明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间產生影响。 § 证明历史 庞加莱猜想 20世纪 这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年J. H. C. Whitehead首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。Whitehead提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为Whitehead流形。 1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括Bing, Haken, Moise和Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名。但是，证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。1981年美国数学家M.Freedman证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。 1982年，理察·汉密尔顿引入了“瑞奇流”的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷尔曼的证明所使用。 21世纪 Clay Institute2005年终报告，封面有 Ricci 流方程 及几何化示意图在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv.org发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。 在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。据报导，2006年6月3日，丘成桐曾表示曹怀东和朱熹平第一个给出了庞加莱猜想的完全证明。2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。 § 专文及相关争议 庞加莱猜想 2006年8月28日出版的《纽约客》杂志发表西尔维亚·娜莎和大卫·格鲁伯的长文《流形的命运——传奇问题以及谁是破解者之争》。该文介绍了佩雷尔曼等人的工作并描画了“一个令人厌恶的丘成桐的形象，暗示他为他的学生曹怀东和他支持的朱熹平的工作宣传了过多的功劳。” 此文发表后，引发了很大争议。包括汉密尔顿在内的多名数学家发表声明表示文章没有正确地反映他们对丘的评价，丘成桐也表示可能采取法律行动。 一名加州理工学院的研究者指出曹、朱论文中引理7.1.2与克莱纳和洛特2003年发表的成果几乎完全相同。据此，洛特指责曹和朱两人有剽窃的行为。此后，曹怀东和朱熹平在原刊发表纠错声明，确认了此引理是克莱纳和洛特的成果，解释没有指明出处是由于编辑上的差错，併为此向两位原作者致歉。 § 重要的证明者 庞加莱猜想 佩雷尔曼，人们知之甚少。这位伟大的数学天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就开始专攻高等数学和物理。16岁时，他以优异的成绩在1982年举行的国际数学奥林匹克竞赛中摘得金牌。 从圣彼得堡大学获得博士学位后，佩雷尔曼一直在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所工作。上个世纪80年代末期，他曾到美国多所大学做博士后研究。大约10年前，他回到斯捷克洛夫数学研究所，继续他的宇宙形状证明工作。 1994年，佩雷尔曼因写出了几篇非常有原创性的论文而被邀请在国际数学家大会作报告。他回俄国是为了解决庞加莱猜想，在俄国他独自工作，只通过英特网搜集他所需要的知识。1995年，哈密尔顿发表了一篇文章，其中描述了他对于完成庞加莱猜想的证明的一些想法。 2002年11月11日，佩雷尔曼在网络数学文库arXiv.org上张贴了他的第一篇文章，之后他通过电子邮件把文章摘要发送给在美国的一些数学家，包括哈密尔顿，田刚和丘成桐。之前他没有同任何人讨论过这篇文章，田刚在MIT收到了佩雷尔曼的电子邮件，立即意识到其重要性。他开始阅读并同他的同事们讨论这篇文章。 田刚写信给佩雷尔曼邀请他到MIT作演讲。普林斯顿和石溪分校的同事们也发出类似邀请。佩雷尔曼全部接受了，并于2003年4月开始在美国做巡回演讲。数学家们和新闻界都把这看作一件大事。 庞加莱猜想 到2003年的7月，佩雷尔曼已经在网上公布了他的后两篇文章。数学家们开始对他的证明艰苦地进行检验和说明。在美国至少有两组专家承担了这一任务：田刚（丘成桐的对手）和Morgan；还有密西根大学的两位专家。克莱研究所对他们都给与资助，并计划把田和Morgan的工作以书的形式出版。这本书除了为数学家们提供佩雷尔曼的证明的逻辑外，还是佩雷尔曼能够获得克莱研究所一百万美元奖金的依据。 2006年4月13日，《亚洲数学杂志》编委会的31位数学家收到丘成桐和另一位共同主编的电子邮件，通知他们在3天内对丘打算在杂志上发表的朱熹平和曹怀东的一篇文章发表意见，题目是“瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论:庞加莱和几何化猜想”。 电子邮件没有包含这篇文章，评审报告或者摘要。至少一位编委要求看这篇文章，却被告知无法得到。4月16日曹收到了丘的邮件告诉他文章已被接受，摘要已在杂志的网站公布。一个多月后，朱和曹的文章的题目在《亚洲数学杂志》的网页上被改成“庞加莱和几何化猜想的一个完整证明：瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论的应用”。摘要也被修改了，新加的一句话说，“这一证明应看作为瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论的最高成就”。 佩雷尔曼认为所说的任何事情都不可能引起公众的一丝一毫的兴趣。”，佩雷尔曼不愿意说是因为我很看重自己的隐私，或者说我就是想隐瞒我做的任何事情。这里没有顶级机密，我只不过认为公众对我没有兴趣。”他坚持自己不值得如此的关注，并表示对飞来的横财没有丝毫的兴趣。 2003年，在发表了他的研究成果后不久，这位颇有隐者风范的学者就从人们的视野中消失了。 § 千禧年大奖 克莱数学研究所2000年将长期困扰数学界的7大难题定为“千禧年大奖问题”，为每个难题设立100万美元奖金，“庞加莱猜想”是其中之一。 2002年和2003年，当时在圣彼得堡斯捷克洛夫数学学院任职的佩雷尔曼在互联网上发表3篇论文，证明“庞加莱猜想”，因此在数学界声名鹊起。 [1] 2010年7月，佩雷尔曼拒绝了克莱数学研究所奖励他的100万美元，这笔奖金是奖励他对庞加莱猜想的证明。 § 庞加莱猜想的意义 庞加莱猜想的证明意义重大，该猜想的证明，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。 |
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