| 词条 | 射影微分几何学 |
| 释义 | § 定义 微分几何学的一个分支。是在20世纪初期依据F.克莱因的思想开始发展起来的，研究的对象主要是曲线、曲面、共轭网等在射影变换群下的不变量、协变图形及其性质。G.达布的有名的曲面论这部著作中，蕴含了它的萌芽。到20世纪的40年代为止，概括起来，大致有三种讨论的方法，其内容也随着这些方法的建立而趋于完善。 第一种是以G.富比尼为首的意大利学派的方法。试以曲面论为例进行说明。 设(x)=(x1,x4,x3,x4)是三维射影空间p3的点的齐次坐标, x=x(u,υ)是一个曲面S的参数表示。用一种射影不变的方法确定x的比例因子,从而获得 G.富比尼的规范坐标。 其次，按照规范坐标的表示x(u,υ)还可构造二次和三次的基本形式： 式中φ和普通曲面论中的第二基本形式只相差一个因子，于是φ＝0定义了曲面的两系主切（或渐近）曲线,ψ和φ满足配极关系，而且ψ＝0定义了曲面的三系达布曲线。这二个基本形式的系数必须满足一系列的关系式，即所谓曲面的基本方程。同普通曲面论的场合一样，可导出射影曲面论的基本定理，给定了两个微分形式φ和ψ，并设它们的系数满足上述的基本方程，那么，除了射影变换外，可以惟一地决定一个曲面，使它的两个基本形式是φ和ψ。 第二种是É.嘉当继承达布后创新的活动标架法。他重新建立起射影曲面论，这比起第一种来，既简练，又富有广泛性。所论的问题都被归结为一个普法夫方程系统，它的可积分条件被写成嘉当结构方程，而且许多结果就从此自然地被推导出来。 以n维射影空间pn(n≥3)的共轭网A0(u,υ)为例。设这网沿方向u的拉普拉斯变换是A-1,A-2,…,A-m，…,而且沿方向υ的是A1,A2,…,Am ,…,则有 式中假定αrbr≠0。如果用É.嘉当的外形式法来表达,上列方程组便可归结为普法夫方程组 式中此时,É.嘉当结构方程除了从定义得到的(D表示外微分)之外，可还有写成外积形式的方程： 近年来发展起来的高维射影空间共轭网理论，就是这样根据É.嘉当的外形式法建立的。 最后第三种是中国学者在20世纪30年代末期开创而发展起来的所谓结构式射影微分几何，主要是用几何作图法来建立射影协变的构图和不变量，例如，用平面曲线在其某种奇异点的不变量以表达其他几何不变量，就是一项具有代表性的显著的成果。 § 影响 公式 射影微分几何学的研究对数学其他分支以及力学、物理学、工程学等的影响是不可估量的。如：伪球面上的几何与非欧几何有密切关系；测地线和力学、变分学、拓扑学等有着深刻的联系，是内容丰富的研究课题。这方面有以J.阿达马、H.庞加莱等人为首的优异研究。极小曲面是和复变函数论、变分学、拓扑学关系极为深刻的研究领域，K.魏尔斯特拉斯、J.道格拉斯等人作出过卓越贡献。 射影微分几何学的研究工具大部分是微积分学。力学、物理学、天文学以及技术和工业的日益增长的要求则是微分几何学发展的重要因素。尽管微分几何学主要研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面的局部性质，但它形成了现代微分几何学的基础则是毋庸置疑的。因为依赖于图形的直观性及由它进行类推的方法，即使在今天也未失其重要性。 § 和分析学新的结合 射影微分几何学的研究与发展离不开微分方程，达布的《曲面论》一书就包含了丰富的古典微分方程的内容。É.嘉当和凯勒所发展的外微分方程理论，对于解析函数领域的一大类局部微分几何问题，给出了一般的有效的方法。 整体微分几何的发展，需要运用更深入的，现代化的分析工具，特别是偏微分方程理论以及与之有关的非线性分析。 在线性理论中，一个突出的成果是阿蒂亚和辛格的指标定理，紧致微分流形上的一个线性椭圆算子的零空间的维数与象空间的维数都是有限数,其差称为指标,这个定理指出，这种指标可以表示为和流形（或纤维丛）及椭圆算子有关的拓扑不变量,而过去的黎曼-罗赫定理，希策布鲁赫的指标定理等都是它的特殊情形。这个定理对于确定杨-米尔斯方程的解的存在性和其自由度,起了重要作用。此外，流形上的拉普拉斯算子的特征值的研究也是一个重要方面。 射影微分几何学所遇到的偏微分方程大多是非线性的，调和函数的概念被推广成黎曼流形间的调和映射，它联系于一个推广的狄利克雷积分的变分问题，其欧拉方程是非线性的椭圆型方程组，J.伊尔斯等人用了多种分析的技巧证明了各种存在性和不存在性定理,近年来,R.舍恩和K.K.乌伦贝克又对广义解的奇性作了深入的分析。极小曲面理论近年来得到更深入的发展，研究范围日趋广泛，而且对流形的拓扑以及广义相对论中的数学问题均有重要应用。在调和映射、极小曲面，以及其他许多微分几何问题上,大范围变分方法成了重要工具,非线性泛函的极小元素或临界元素的正则性和存在性起了很大作用。如果考虑洛伦茨流形到黎曼流形的调和映射，就归结为双曲型偏微分方程的整体解的存在性问题，这方面成果国际上较少，谷超豪证明了闵科夫斯基平面到完备黎曼流形的调和映射的柯西问题的整体存在性定理，某些调和映射在物理学中称为非线性σ模型,是物理学家独立地提出的。 有些射影微分几何学问题还必须求解“真正”非线性偏微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想,证明了某种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复的蒙日-安培方程,它的非线性程度更高，需要有高度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的与非线性偏微分方程有关的几何问题。 具有复结构的微分流形特别是凯勒流形在多元复变函数和代数几何中起着重要的作用。 § 其它学科的联系 射影微分几何学 射影微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。 十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。 § 高斯贡献 1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 § 克莱因贡献 射影微分几何学 1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，射影微分几何学在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。[1] § 参考书目 苏步青著：《射影曲面概论》，上海科学技术出版社，上海，1964。 苏步青著：《射影共轭网概论》，上海科学技术出版社，上海，1978。 |
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