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词条 乘方
释义

§ 意义

求n个相同因数乘积的运算叫做乘方(power)。乘方算是一个三级运算。 乘方

§ 书写和读法

在an中,相同的乘数a叫做底数,a的个数n叫做指数,乘方运算的结果an叫做幂。an读作a的n次方,如果把an看作乘方的结果,则读作a的n次幂。a的二次方(或a的二次幂)也可以读作a的平方;a的三次方(或a的三次幂)也可以读作a的立方。每一个自然数都可以看作这个数的一次方,也叫作一次幂。如:8可以看作81。当指数是1时,通常省略不写。

相同乘数相乘的积用乘方表示。[1]

§ 法则

同底数幂的乘法法则:

同底数幂相乘除,原来的底数作底数,指数的和或差作指数。用字母表示为:

am×an=am+n   或  am÷an=am-n   (m、n均为自然数)

例 1)152×153;      2)32×34×38;      3)5×52×53×54×…×590

4)128÷125;      5)453÷45;       6)257÷257。

幂的乘方法则

am又叫做幂,如果把am看作是底数,那么它的n次方就可以表示为(am)n。这就叫做幂的乘方。我们先来计算(a3)4。

把a3看作是底数,根据乘方的意义和同底数的幂的乘法法则可以得出:(a3)4=a3×a3×a3×a3=a3+3+3+3=a3×4=a12         即:(a3)4=a3×4

同样,(a2)5=a2×a2×a2×a2×a2=a2+2+2+2+2=a2×5=a10      即:(a2)5=a2×5

由以上例子可知,幂的乘方,底数不变,指数相乘。用字母表示为:(am)n=am×n 例 (103)5; (x4)2;   (a2)4×(a3)5。

积的乘方

积的乘方,先把积中的每一个乘数分别乘方,再把所得的幂相乘。用字母表示为:      (a×b)n=an×bn  这个积的乘方法则也适用于三个以上乘数积的乘方。如:

(a×b×c)n=an×bn×cn[2]

§ 公式

平方差公式。两个数的和乘以这两个数的差,等于这两个数的平方的差。用字母表示为:(a+b)×(a-b)=a2-b2  这个公式叫做平方差公式。利用这个公式,可以使一些计算变得简便。

例    用简便方法计算104×96。解:原式=(100+4)×(100-4)=1002-42=10000-16=9984

完全平方公式。两数和(或差)的平方,等于它们的平方的和加上(或者减去)它们的积的2倍。用字母表示为:(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

上面这两个公式叫做完全平方公式。应用完全平方公式,可以使一些乘方计算变得简便。

例      计算下面各题: 1)1052;   2)1962。

1)422;    2)542;   3)982;    4)9932;   5)10022。

有些较特殊的数的平方,掌握规律后,可以使计算速度加快,现介绍如下。

1.求由n个1组成的数的平方

求由n个1组成的数的平方,先由1写到n,再由n写到1。注意:其中n只占一个数位,满10应向前进位,当然,这样的速算不宜位数过多。

2.由n个3组成的数的平方。

3.个位数字是5的数的平方。把a看作10的个数,这样个位数字是5的数的平方可以写成;(10a+5)2的形式。根据完全平方式推导;10a+5)2=(10a)2+2×10a×5+52=100a2+100a+25=100a×(a+1)+25 =a×(a+1)×100+25由此可知:个位数字是5的数的平方,等于去掉个位数字后,所得的数与比这个数大1的数相乘的积,后面再写上25。

例       计算 1)452;      2)1152。解:1)原式=4×(4+1)×100+25      2)原式=11×(11+1)×100+25 =2000+25   =11×12×100+25 =2025  =13200+25 =13225

4.同指数幂的乘法。a2×b2是同指数的幂相乘,可以写成下面形式:a2×b2=a×a×b×b=(a×b)×(a×b)=(a×b)2 由此可知:同指数幂的乘法,等于底数的乘积做底数,指数不变。根据这个法则可以使计算简便。如:

22×52=(2×5)2=102=100  23×53=(2×5)3=103=1000       24×54=(2×5)4=104=10000

根据上面算式,可以得出这样一个结论:例       计算:1)26×56;    2)510×210。[3]

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更新时间:2024/12/23 3:35:27