| 词条 | 二次型的算术理论 |
| 释义 | § 二次型的算术理论 § 正文 主要研究“以型表型”的问题。设D 是域K或K中含有单位元素1的环，以I记K或D。所谓I上的二次型,是指n个变元的二次齐次式 简称为型ƒ。当K 的特征非2时，常记 ƒii＝αii，而写此时将ƒ的系数矩阵(ƒij)记为 F，将x视为列矩阵，便有 ƒ＝xTFx，其中xT表x的转置阵。F的秩nƒ和行列式dƒ,分别称为型ƒ的秩和行列式。F为满秩，则称ƒ为非奇异的；F为降秩，则称ƒ为奇异的。对给定的I上n元型ƒ和m元型g（m≤n），若存在使；或者说，当K的特征非2时存在n×m矩阵B＝（bij），使BTFB=g,其中g是型g的系数矩阵,则称ƒ可在D上表出型g，且B称为ƒ表g的一个表法。当m=1时,由ƒ(yb)=g(y)=αy2可得ƒ(b)=α∈I,此时称ƒ可在D上表出I中元素α。知α求b即所谓以型表“数”。当α=0而b≠0，ƒ非奇异时，则称ƒ为I上的零型。例如，有理数域上的三元二次型x2+y2-z2是整数环上的零型，且有表法(3,4,5)(商高定理)。当非奇异型ƒ可在I上表出I的所有非零元素时，则称ƒ为I上的泛型。当m=n时，若型ƒ和g可在D上互相表出，则称ƒ与g是在D上等价的，记。I上诸型可分成若干在D上的等价类。若ƒ与g同类,则nƒ=ng,τ∈D，简记为；且可在D上表出之型相同。但是，表数相同的型不一定是等价的。 最早对二次型进行系统研究的是C.F.高斯。二次型的算术理论在不定方程中有大量的应用，也应用于组合设计和结晶学。 型的性质与选取型的系数所在的基域K和环D有关。在有理数域Q和p进数域Qp，以及它们包含的整环上所得的结果，大都可以推广到一般的整体域和局部域上。 域上的二次型 设K是任意一个特征非2的域，则有以下重要结果： ① K上秩为n的型均在K上等价于一个对角型式中αi是K中无平方因子的非零元素。 ② E.维特于1936年证明了消去定理：若非奇异l元型，则的充分必要条件为。 ③ C.L.西格尔于 1941年证明了K上的零型必为K上的泛型。反之不常真。由此可知，非奇异n元型ƒ可在K上表出K中的元素α的充分必要条件为n+1元型是K上的零型。于是把表数问题化为表零问题。 ④ K上非奇异n元型ƒ可在K上表出非奇异m元型g的充分必要条件为存在n-m元型h,使得当K=C为复数域时,秩为n的型均在C上等价于单位型，故的充分必要条件为nƒ=ng。ƒ为零型的充分必要条件为nƒ≥2。当K=R为实数域时,秩为n的型ƒ均在R上等价于某个形如的对角型。数s=sƒ，称为型ƒ的正惯性指标。由消去定理可知,的充分必要条件是nƒ=ng,sƒ=sg。通常把s=0或n的型,称之为定型；s=n的型，称之为正定型；0<s<n的型，称之为非定型。ƒ是零型的充分必要条件为 ƒ是非定型。当K=Fq是一个有限域时,秩为n的型均在Fq上等价于某个对角型,式中α为1或某个非平方数。的充分必要条件为nƒ=ng,;ƒ是零型的充分必要条件为nƒ≥3或nƒ=2而－dƒ是平方数。当K=Qp是p进数域时为判别型在Qp上等价性及表数问题，H.哈塞关于对角型引入了一个重要的符号，即哈塞符号Cp(ƒ)，亦称哈塞-闵科夫斯基符号。后来,G.帕尔将其推广为 式中Di表非奇异型ƒ的矩阵中之左上角i阶主子式。此处只要求Di中无相继为0的,且对于为0的Di可随意取作1或-1。式中的符号(α,β)p=+1或-1,视αx2+βy2=1在Qp中有解或无解而定。这里α、β是Qp中的非零数,p为素数或，Q∞即实数域。(α,β)p由D.希尔伯特于1897年引入，称为希尔伯特符号，亦记作或。关于(α,β)p有一套实际算法,因此Cp(ƒ)是可以算出的。利用哈塞符号可以证明，p≠时,Qp上两个非奇异型的充分必要条件为,Cp(ƒ)=Cp(g)。Qp上非奇异型ƒ为零型的充分必要条件是:nƒ=2时；nƒ=3时Cp(ƒ)=1；nƒ=4时或而Cp(ƒ)=1；nƒ≥5。 哈塞于 1923年至1924年建立了关于有理数域Q上型的著名准则。弱哈塞准则，亦称哈塞－闵科夫斯基定理：Q上两个非奇异型的充分必要条件为对所有素数p（包括p=），。强哈塞准则：Q上非奇异型ƒ是Q上的零型的充分必要条件为对所有素数p（包括p=），ƒ是Qp上的零型。于是Q上的型问题,常可化为Qp上的问题，而Qp上的问题借助于哈塞符号即可解决。例如，应用Qp上的结果可得到A.迈耶的定理：Q上秩大于4的非定型，均为Q上的零型。对于K是特征为2的域时,也有少量的研究工作。 环上的二次型 当域K的特征非2,I=D嶅K是一个环（通常取D使K为其商域）时，设 ，C.F.高斯把ƒij均在D中的型称为整型；L.A.西伯把ƒii和2ƒij均在D中的型称为整型。习惯上，前者称为经典整型；后者称为非经典整型或整值整型。这两种整型仅当2非D中之单位数时才是不同的。此后如无特殊声明，概指经典整型。当ƒ11，ƒ12，…,ƒnn的最大公因数是D中的单位数时，则称ƒ为本原型。当D为有理整数环Z或2进整数环Z2时,则使为整值型的本原型ƒ称为非真本原型；否则，称为真本原型。当非奇异n元整型ƒ可在D上表出m元非奇异整型g，且表法矩阵的所有m阶子式的最大公因数为单位数时，则称此表法是本原的。一般环上的型是极难处理的。例如,当D是非主理想环时,D上的奇异型甚至可能不在D上等价于一个有较少变元的非奇异型。当D=Zp(p≠)时,Zp上的型均在Zp上等价于一个形如的型，其中gi是行列式为单位数且无公共变元的整型。当P≠2时,是惟一确定的；当p＝2时，gi或是对角型或是形如2x1x2与 的型的直和，此时gi虽不惟一，但l、ti、gi的变元数以及gi之为真本原型或非真本原型却是不变的。Zp上矩阵为F之非奇异n元整型ƒ可在Zp上表出矩阵为g之非奇异m元整型g的充分必要条件为：存在Z中的n×m矩阵A使得 成立，此处w=1或3视p为奇素数或2而定,u≥0适合于pu｜dg,pu+1dg。当D=Z时，弱哈塞准则不成立。对所有p(包括p=)均在Zp上等价于整型ƒ的全体整型，称为ƒ的一个族。族中可能包含多个Z上的等价类，此时只能证明：对所有素数p和p＝，若非奇异整型 ƒ 均可在Zp上表出非奇异整型（或非零整数）g,则在ƒ的族中必存在一个可在Z上表出g的整型。因此，当ƒ的族只含一个Z上的等价类时,即可获得ƒ表型（或数）的解答。M.艾希勒于 1952年引入一种介于Z上的等价类和族之间的分类，即所谓旋子族,并证明了nƒ≥3的非奇异非定整型ƒ的旋子族与ƒ的在Z上的等价类重合。非定整型在Z上的等价性问题,可由判定两型是否同属一个旋子族的方法解决。 关于表数问题，G.L.沃森在1955年用初等方法得到了一个很好的结果：nƒ≥4的非奇异的非定整型ƒ可在Z上表出一个非零整数α的充分必要条件是：对所有p（包括p=），ƒ均可在Zp上表出α。对于正定整型在一般情形下只能证明:若nƒ≥4的正定型ƒ对每个p（包括p=）均可本原地在Zp上表出正整数α,则存在整数N=N(ƒ),当α≥N 时,α可被ƒ本原地在Z上表出;当α<N 时,α可被ƒ的旋子族中的某个整型本原地在Z上表出。 二次型的简化法 这是R上的型关于在Z上等价性的理论,由C.埃尔米特首先提出。其基本问题是要从R上诸型的每个Z上的等价类中选出的一个系数尽可能简单(即满足某些所谓简化条件)的型来,这样的型称为已化型。简化方法很多，最常用的是埃尔米特和H.闵科夫斯基的简化法，它们均与正定二次型 ƒ 的极小值 minƒ 有关，minƒ是型ƒ(x)对于所有非零整向量x的最小值。可以证明，存在一个仅与变元数n有关的常数сn,使得对所有n元正定型ƒ均有。例如,埃尔米特取。当n≤8时,сn的最佳值rn已于1936年前定出：,但是n>8时rn的值迄今未解决。关于正定型，埃尔米特简化法和闵科夫斯基简化法分别把适合简化条件:+是n-1元已化型,和简化条件：对每个i(1≤i≤n)和所有使 bi,bi+1,…,bn的最大公因数是1的整向量均有ƒii≤ƒ(b)的型ƒ,称之为H已化型和M已化型。易知，对M已化型也有ƒ11=minƒ,且可证明简化条件中的b只需有限个。 埃尔米特还给出了关于非定型的一种简化法：对给定的非奇异n元非定型g，有多种方法将其表为n个线性无关的实线性型Li(x)的平方的代数和 ，εi=±1。对这样的每种表法，正定型称为 g的一个埃尔米特强函数。若ƒ中有一个是M已化型，则称非定型 g为H已化型。对二元非定型，有一种基于连分数的简化法，但是不能推广到多元的情形。可以证明，R上每个正定型均在Z上等价于至少一个而至多有限个H（或M）已化型;R上每个非定型均在Z上等价于至少一个H已化型；Q上每个非定型均在Z上等价于至多有限个H已化型。对于整型，可以证明,有给定行列式的n元非奇异整型，分别属于有限个Z上的等价类。因此,族和旋子族中均只含有限个Z上的等价类。 参考书目 J.W.S. Cassels,rational Quadratic Forms,Academic Press,London,1978. L.E.Dickson,History of the Theory of Numbers,Vol.3, Carnegie Institution of Washington, New York,1952. B.W.Jones,The Arithmetic Theory of Quadratic Forms,carus Math.Monographs,No.10,Buffalo,1950. G.L.Watson,Integral Quadratic Forms, Cambridge Univ.Press,London,1960. § 配图 § 相关连接 |
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