拉格朗日中值定理

其它形式

定理内容

证明

几何意义(推论)

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理又称拉氏定理。

如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]，使得

f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。

其它形式

令f(x)为y，则该公式可写成

y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)

上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。

定理内容

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件：

(1)在[a,b]连续

(2)在(a,b)可导

则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，或

使f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

证明

证明:

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

做辅助函数

易证明此函数在该区间满足条件:

1.g(a)=g(b)=0;

2.g(x)在[a,b]连续;

3.g(x)在(a,b)可导.

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证

几何意义

若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

推论

如果函数在区间Q上的导数恒为零，那么函数在区间Q上是一个常数。

证明：f(b)-f(a)=f'(ξ)*(b-a) ξ∈[a,b]

由于已知f'(ξ)=0，f(b)-f(a)=0，即f(b)=f(a)

这就是说，在区间内任意两点的函数值都相等。因此函数在区间内是一个常数。