空间区域

空间区域

平面直线划分平面所成的区域个数

空间区域

空间的维数

维度（又称维数）是数学中独立参数的数目。在物理学和哲学的领域内，指独立的时空坐标的数目。

我们所居于的时空有四个维（3个空间轴和1个时间轴）。我们周围的空间有3个维（上下，前后，左右）。我们可以往上下、东南西北移动，其他方向的移动只需用3个三维空间轴来表示。向下移就等于负方向地向上移，向西北移就只是向西和向北移的混合。

时间是第四维，与三个空间维不同的是，它只有一个，且只能往一方向前进。

有些理论预言我们所居于的宇宙实际上有更多的维度（通常10，11 或 26 个）。但是这些附加的维度所量度的是次原子大小的的宇宙。（请参看弦论）

维度是理论模型，在非经典物理学中这点更为明显。所以我们不用计较宇宙的维数是多少，只要方便描述就行了。

在数学上，通俗地说，维数是这样一个正整数，在一个空间中要定出一个点所需要的最少的数字的个数，而且用这么多个数字也能而且只能定出一个该空间的点。

空间区域

n维空间里个一个点集合N叫做一个区域，是指它具有连通性，也就是说N里面的任何两个点，都能用一条完全含于N的简单闭折线连起来。往细了说还有开域，闭域等。

平面直线划分平面所成的区域个数

平面就是二维空间，直线是一维空间。在初等几何里平面上的直线有两种关系：相交和平行。题目所研究的是平面n条直线将平面划分成的区域（不包括零维空间，即点）的块数fn的计算。

1、平面上有n条直线，并且它们没有互相平行的，也没有哪三条直线相交于一点（换一句话说，就是：任二相交，任三不共点）。那么他们将空间划分成fn=n(n+1)/2+1块区域。这个极容易用数学归纳法证明：

n=0时是成立的，假设在n=k时也成立，那么就是说fk=k(k+1)/2+1，现在再多一条直线，它与原来的k条直线都相交，而且不通过原来那些直线的交点，那么这条直线就被分成了(k+1)段，每一段都将空间的区域多划分出了一块，所以fk+1=k(k+1)/2+1+k+1=(k+1)(k+2)/2+1所以公式对于n=k+1也是成立的。综合起来就有对所有的自然数n，公式都成立，证完。

2、平面上有n条直线，他们中有超过2条直线相交于一个点，也有互相平行的直线存在

这个时候情况稍微复杂一点：先约定两的名词：1、p结，就是一个点，有p条直线通过它。2、q行（xing)，是这样的q条直线：它们互相平行。

现在有两条定理：

(1)每一个p结，都使平面的区域损失P=p(p+1)/2+1-2p块。

(2)每一个q行，都使平面的区域损失Q=q(q+1)/2-q块。

注意：这里说的损失，是相对于n条直线,它们没有互相平行的，也没有哪三条直线相交于一点这种情况来说的。例如：面上有n条直线，它们中有1个p结，有1个q行，则它们将把平面划分成n(n+1)/2+1-(p(p+1)/2+1-2p)-(q(q+1)/2+1-q)块。如果有很多结，分别是p1结,p2结，……pm结，则用n(n+1)/2+1分别减去它们对应损失的区域块数，有行也是同理。

上面两个定理的证明很容易：直接单纯考虑平面上的p条相交于一点的直线可以得到(1)，又单纯考虑平面上q条互相平行的直线可以得到(2)。在此不再作出。这个简单的结果是由l0i（Baidu ID）得到。

如果不是直线划分平面，而是平面划分三维空间，那么情况会更加复杂，或者说更加一般的是：用n-1维空间去划分n维空间而得到的n维区域的个数，那么情况是相当复杂的，刚才只不过是得到了n=2的情况而已。