在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程称为内插；在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程称为外推。空间数据的内插和外推在GIS中使用十分普遍。

数字高程模型(DEM)，也称数字地形模型(DTM)，是一种对空间起伏变化的连续表示方法。

空间数据的插值

用各种方法采集的空间数据往往是按用户自己的要求获取的采样观测值，亦既数据集合是由感兴趣的区域内的随机点或规则网点上的观测值组成的。但有时用户却需要获取未观测点上的数据，而已观测点上的数据的空间分布使我们有可能从已知点的数据推算出未知点的数据值。

在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程称为内插；在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程称为外推。

空间数据的内插和外推在GIS中使用十分普遍。一般情况下，空间位置越靠近的点越有可能获得与实际值相似的数据，而空间位置越远的点则获得与实际值相似的数据的可能性越小。下面介绍一些常用的内插方法。

1、边界内插

使用边界内插法时，首先要假定任何重要的变化都发生在区域的边界上，边界内的变化则是均匀的、同质的。

　图4-6-1

边界内插的方法之一是泰森多边形法。泰森多边形法的基本原理是，未知点的最佳值由最邻近的观测值产生。如图4-6-1所示。

泰森多边形的生成算法见§5.7。

2、趋势面分析

趋势面分析是一种多项式回归分析技术。多项式回归的基本思想是用多项式表示线或面，按最小二乘法原理对数据点进行拟合，拟合时假定数据点的空间坐标X、Y为独立变量，而表示特征值的Z坐标为因变量。

当数据为一维时，可用回归线近似表示为：

其中，a0、a1为多项式的系数。当n个采样点方差和为最小时，则认为线性回归方程与被拟合曲线达到了最佳配准，如图4-6-2左图所示，即：

　图4-6-2

当数据以更为复杂的方式变化时，如图4-6-2右图所示。在这种情况下，需要用到二次或高次多项式：

（二次曲线）

在GIS中，数据往往是二维的，在这种情况下，需要用到二元二次或高次多项式：

（二次曲面）

多项式的次数并非越高越好，超过3次的多元多项式往往会导致奇异解，因此，通常使用二次多项式。

趋势面是一种平滑函数，难以正好通过原始数据点，除非数据点数和多项式的系数的个数正好相同。这就是说，多重回归中的残差属正常分布的独立误差，而且趋势面拟合产生的偏差几乎都具有一定程度的空间非相关性。

3、局部内插

在GIS中，实际的连续空间表面很难用一种数学多项式来描述，因此，往往使用局部内插技术，即利用局部范围内的已知采样点的数据内插出未知点的数据。常用的有线性内插、双线性多项式内插、双三次多项式（样条函数）内插。

(1)、线性内插

线性内插的多项式函数为：

只要将内插点周围的3个数据点的数据值带入多项式，即可解算出系数a0、a1、a2 。

(2)、双线性多项式内插

双线性多项式内插的多项式函数为：

只要将内插点周围的4个数据点的数据值带入多项式，即可解算出系数a0、a1、a2、a3 。

　图4-6-3

如果数据是按正方形格网点布置的（如图4-6-3），则可用简单的公式即可计算出内存点的数据值。

设正方形的四个角点为A、B、C、D，其相应的特征值为ZA、ZB、ZC、ZD，P点相对于A点的坐标为dX、dY，则插值点的特征值Z为：

(3)、双三次多项式（样条函数）内插

双三次多项式是一种样条函数。样条函数是一种分段函数，对于n次多项式，在边界处其n-1阶导数连续。因此，样条函数每次只用少量的数据点，故内插速度很快；样条函数通过所有的数据点，故可用于精确的内插，可以保留微地貌特征；样条函数的n-1阶导数连续，故可用于平滑处理。

双三次多项式内插的多项式函数为：

将内插点周围的16个点的数据带入多项式，可计算出所有的系数。

4、移动平均法

在未知点X处内插变量Z的值时，最常用的方法之一是在局部范围（或称窗口）内计算个数据点的平均值。既：

对于二维平面的移动平均法也可用相同的公式，但位置Xi应被坐标矢量Xi代替。

窗口的大小对内插的结果有决定性的影响。小窗口将增强近距离数据的影响；大窗口将增强远距离数据的影响，减小近距离数据的影响。

当观测点的相互位置越近，其数据的相似性越强；当观测点的相互位置越远，其数据的相似性越低。因此，在应用移动平均法时，根据采样点到内插点的距离加权计算是很自然的。这就是加权移动平均法，即：

其中，λi是采样点i对应的权值，常取的形式有：

加权平均内插的结果随使用的函数及其参数、采样点的分布、窗口的大小等的不同而变化。通常使用的采样点数为6—8点。对于不规则分布的采样点需要不断地改变窗口的大小、形状和方向，以获取一定数量的采样点。